Responda com justificativa:
O coniunto
U=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x-4 y+2 z=5\right\}
é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{3} ? ( 1,0 \mathrm{pt}.)

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
U=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x-4y+2z=5\right\}
e pergunta se U é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^3.
Informações relevantes: a equação explícita que todo vetor (x,y,z) em U deve satisfazer é \,x-4y+2z=5.

Passo 2

Definição e ideia para testar (explicado passo a passo).
Um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço vetorial se, e somente se, satisfaz pelo menos uma das formulações equivalentes seguintes:
  • contém o vetor zero e é fechado sob soma e multiplicação escalar; ou
  • para quaisquer vetores u,v\in W e qualquer escalar \alpha\in\mathbb{R}, tem \alpha u+v\in W.
Vou usar a condição mais simples para testar: todo subespaço deve conter o vetor zero (0,0,0). Por que isso é obrigatório? Se W é subespaço e w\in W, então 0\cdot w=(0,0,0) deve pertencer a W (fechamento por multiplicação escalar). Portanto, a presença do vetor zero é uma condição necessária para ser subespaço.

Passo 3

Verificação concreta se o vetor zero pertence a U.
Considere (0,0,0). Substituindo na equação que define U:
x-4y+2z = 0 - 4\cdot 0 + 2\cdot 0 = 0.
Mas a definição de U exige que x-4y+2z=5. Como 0\neq 5, concluímos que
(0,0,0)\notin U.

Passo 4

Conclusão com justificativa final e interpretação breve.
Como (0,0,0)\notin U, o conjunto U não satisfaz uma condição necessária para ser subespaço vetorial de \mathbb{R}^3. Logo, U não é subespaço. Intuitivamente, a equação x-4y+2z=5 descreve um plano em \mathbb{R}^3 deslocado (afiado) que não passa pela origem; por isso não é um subespaço linear.

Resposta

Não.

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