Responda com justificativa:
O coniunto
é um subespaço vetorial de
? (
.)
O coniunto
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
e pergunta se
é um subespaço vetorial de
.
Informações relevantes: a equação explícita que todo vetor em
deve satisfazer é
.
Informações relevantes: a equação explícita que todo vetor
Passo 2
Definição e ideia para testar (explicado passo a passo).
Um subconjunto de um espaço vetorial
é subespaço vetorial se, e somente se, satisfaz pelo menos uma das formulações equivalentes seguintes:
Um subconjunto
- contém o vetor zero e é fechado sob soma e multiplicação escalar; ou
- para quaisquer vetores
e qualquer escalar , tem .
Vou usar a condição mais simples para testar: todo subespaço deve conter o vetor zero
. Por que isso é obrigatório? Se
é subespaço e
, então
deve pertencer a
(fechamento por multiplicação escalar). Portanto, a presença do vetor zero é uma condição necessária para ser subespaço.
Passo 3
Verificação concreta se o vetor zero pertence a
.
Considere . Substituindo na equação que define
:
Considere
Mas a definição de
exige que
. Como
, concluímos que
Passo 4
Conclusão com justificativa final e interpretação breve.
Como , o conjunto
não satisfaz uma condição necessária para ser subespaço vetorial de
. Logo,
não é subespaço. Intuitivamente, a equação
descreve um plano em
deslocado (afiado) que não passa pela origem; por isso não é um subespaço linear.
Como
Resposta
Não.