As operações elementares que podemos fazer nas linhas sem alterar o conjunto de soluções são:
trocar duas linhas entre si;
multiplicar uma linha por um escalar não nulo;
somar a uma linha um múltiplo escalar de outra linha.
Estas operações preservam as soluções do sistema e são usadas para transformar a matriz aumentada numa forma escalonada (zeros abaixo dos pivôs), para então aplicar retro-substituição.
Vou aplicar essas operações passo a passo, explicando cada conta.]
Passo 3
Para facilitar os cálculos, troco a primeira linha com a terceira, porque a terceira tem um 1 na primeira coluna (pivot mais simples). Faço a operação R_{1}\leftrightarrow R_{3}. A matriz aumentada vira
Agora o próximo pivô está na coluna 2. Para continuar o escalonamento, quero zero abaixo do pivô da linha 2. Observando as linhas 2 e 3, nota-se que -7 é metade de -14, então posso eliminar o elemento da linha 3 subtraindo metade da linha 2:
Faço R_{3}\leftarrow R_{3}-\tfrac{1}{2}R_{2}. Calculo passo a passo:
Para facilitar a retro-substituição, normalizo a terceira linha dividindo por \tfrac{3}{2} (multiplicando por \tfrac{2}{3}), obtendo pivô 1 na coluna 3: