Considere o sistema linear:
\left(\begin{array}{rrr} m & 1 & 1 \\\\ 2 & -1 & 2 \\\\ 4 & -1 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 2 \\\\ 5 \\\\ 6 \end{array}\right) .
a) Determine o valor de m para que o sistema linear admita solução única.
b) Faça m=2 e resolva o sistema linear resultante usando escalonamento.

Passo 1

Listar claramente o que o enunciado pede e as informações dadas.
  • O enunciado nos dá o sistema linear cujas equações, na forma matricial, são:
\begin{pmatrix} m & 1 & 1\\[4pt] 2 & -1 & 2\\[4pt] 4 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\[4pt] x_2\\[4pt] x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\\[4pt] 5\\[4pt] 6 \end{pmatrix}.
  • Perguntas:
    (a) Determinar o(s) valor(es) de m para que o sistema admita solução única.
    (b) Tomar m=2 e resolver o sistema resultante por escalonamento (eliminação).]

Passo 2

Conceito importante e método para (a): quando um sistema linear (quadrado) tem solução única?
  • Uma matriz quadrada A é invertível (ou não singular) se e somente se \det(A)\neq0.
  • Se a matriz dos coeficientes for invertível, o sistema A\mathbf{x}=\mathbf{b} tem exatamente uma solução \mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}.
  • Portanto, para responder (a) basta calcular o determinante da matriz dos coeficientes como função de m e exigir que seja diferente de zero.

Passo 3

Calcular o determinante da matriz dos coeficientes. Use a regra de Sarrus / expansão por cofatores para a matriz
A=\begin{pmatrix} m & 1 & 1\\[4pt] 2 & -1 & 2\\[4pt] 4 & -1 & 1 \end{pmatrix}.
Expansão pela primeira linha:
\det(A)=m\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & 2\\\\ -1 & 1\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 2\\[2pt]4 & 1\end{pmatrix} +1\cdot\det\begin{pmatrix}2 & -1\\[2pt]4 & -1\end{pmatrix}.
Agora calcular cada menor:
\det\begin{pmatrix}-1 & 2\\\\ -1 & 1\end{pmatrix}=(-1)\cdot 1 - 2\cdot(-1)= -1+2=1,
\det\begin{pmatrix}2 & 2\\[2pt]4 & 1\end{pmatrix}=2\cdot 1 - 2\cdot 4 = 2-8 = -6,
\det\begin{pmatrix}2 & -1\\[2pt]4 & -1\end{pmatrix}=2\cdot(-1)-(-1)\cdot 4 = -2 +4 =2.
Substituindo:
\det(A)=m\cdot 1 -1\cdot(-6) +1\cdot 2 = m +6 +2 = m+8.]

Passo 4

Concluir (a) a partir do determinante calculado.
  • Para que haja solução única é necessário e suficiente que \det(A)\neq0. Como \det(A)=m+8, isso significa:
m+8\neq0 \quad\Longleftrightarrow\quad m\neq -8.
Portanto para qualquer m diferente de -8 o sistema tem solução única; para m=-8 a matriz é singular e pode haver nenhuma ou infinitas soluções (esse caso não é pedido aqui).

Passo 5

Agora parte (b): tomar m=2 e resolver por escalonamento. Escrever a matriz aumentada inicial:
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & 1 & 2\\[4pt] 2 & -1 & 2 & 5\\[4pt] 4 & -1 & 1 & 6 \end{array}\right].
Explicação rápida do método: escalonamento usa operações elementares por linha (trocar linhas, multiplicar linha por escalar não nulo, adicionar múltiplo de uma linha a outra) que preservam o conjunto de soluções; objetivo é obter uma matriz triangular superior e então fazer substituição regressiva (back-substitution).]

Passo 6

Primeiro passo do escalonamento: zerar entradas abaixo do pivô na primeira coluna usando a linha 1 como pivô.
  • Fazer R_2 \leftarrow R_2 - R_1:
R_2: \\ (2,-1,2|5) - (2,1,1|2) = (0,-2,1|3).
  • Fazer R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1:
R_3: \\ (4,-1,1|6) - 2(2,1,1|2) = (4,-1,1|6) - (4,2,2|4) = (0,-3,-1|2).
A matriz aumentada fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & 1 & 2\\[4pt] 0 & -2 & 1 & 3\\[4pt] 0 & -3 & -1 & 2 \end{array}\right].]

Passo 7

Segundo passo do escalonamento: zerar a entrada abaixo do pivô da segunda coluna. O pivô na segunda linha é -2 (segunda coluna).
  • Para eliminar o -3 na terceira linha use R_3 \leftarrow R_3 - \dfrac{3}{2}R_2 (note que \dfrac{-3}{-2}=\dfrac{3}{2}).
    Calcule cada entrada de R_3:
\text{segunda entrada: } -3 - \tfrac{3}{2}(-2) = -3 - (-3)=0,
\text{terceira entrada: } -1 - \tfrac{3}{2}\cdot 1 = -1 - \tfrac{3}{2} = -\tfrac{5}{2},
\text{termo independente: } 2 - \tfrac{3}{2}\cdot 3 = 2 - \tfrac{9}{2} = -\tfrac{5}{2}.
Então a terceira linha fica (0,0,-\tfrac{5}{2}\,|\, -\tfrac{5}{2}). A matriz triangular é
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & 1 & 2\\[4pt] 0 & -2 & 1 & 3\\[4pt] 0 & 0 & -\tfrac{5}{2} & -\tfrac{5}{2} \end{array}\right].]

Passo 8

Fazer substituição regressiva (back-substitution) para encontrar x_3,x_2,x_1.
  • Da terceira equação temos
-\tfrac{5}{2}x_3 = -\tfrac{5}{2} \quad\Longrightarrow\quad x_3 = 1.
  • Inserir x_3=1 na segunda equação:
-2x_2 + 1\cdot x_3 = 3 \quad\Longrightarrow\quad -2x_2 + 1 = 3 \quad\Longrightarrow\quad -2x_2 = 2 \quad\Longrightarrow\quad x_2 = -1.
  • Inserir x_2=-1 e x_3=1 na primeira equação:
2x_1 + x_2 + x_3 = 2 \quad\Longrightarrow\quad 2x_1 + (-1) + 1 = 2 \quad\Longrightarrow\quad 2x_1 = 2 \quad\Longrightarrow\quad x_1 = 1.

Passo 9

Verificação rápida (substituir de volta nas equações originais com m=2):
  • Primeira equação: 2\cdot 1 + (-1) + 1 = 2
  • Segunda: 2\cdot 1 -(-1) + 2\cdot 1 = 2 +1 +2 =5
  • Terceira: 4\cdot 1 -(-1) + 1 = 4 +1 +1 =6
Tudo confere.

Resposta

(a) m\neq -8
(b) x_1=1,\; x_2=-1,\; x_3=1

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