Responda
\mathbf{V}
para verdadeiro e
\mathbf{F}
para afirmativas falsas. Justifique todas as suas escolhas na folha em anexo ) RESPOSTAS SEM JUSTIFICATIVAS SERÃO DESCONSIDERADAS) (7,0 pontos)
( ) A vazão mínima média anual esperada para um tempo de retorno de 10 anos em um rio com vazão média anual de 125 \mathrm{~m}^{3} / \{s}
e desvio padrão de 10 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}
é de 137,8 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}.

Passo 1

O enunciado pede para avaliar se a afirmativa é verdadeira ( \mathbf{V}) ou falsa ( \mathbf{F}) e justificar. A afirmativa diz: “A vazão mínima média anual esperada para um tempo de retorno de 10 anos em um rio com vazão média anual de 125\\ \mathrm{m^{3}/s} e desvio padrão de 10\\ \mathrm{m^{3}/s} é de 137{,}8\\ \mathrm{m^{3}/s}.”
Informações dadas:
  • média da variável (vazão anual mínima média): \mu = 125\\ \mathrm{m^{3}/s}.
  • desvio padrão: \sigma = 10\\ \mathrm{m^{3}/s}.
  • tempo de retorno: T = 10 anos.
  • valor afirmado: 137{,}8\\ \mathrm{m^{3}/s}.
O que a pergunta requer: decidir se a afirmação acima é verdadeira ou falsa e justificar matematicamente.

Passo 2

O que significa “tempo de retorno” na prática e como se relaciona com probabilidade.
  • O tempo de retorno T (em anos) está ligado à probabilidade anual de ocorrência p por
p=\frac{1}{T}.
Ou seja, um evento com tempo de retorno T=10 anos tem probabilidade anual p=1/10=0{,}1 de ocorrer num ano qualquer.
  • Quando tratamos de extremos anuais, é importante distinguir se o extremo é o máximo anual (cheia) ou o mínimo anual (escoamento mínimo). Para máximos, o quantil de interesse é o quantil superior com probabilidade acumulada 1-p (por exemplo, 0{,}9 para p=0{,}1). Para mínimos, o quantil de interesse é o quantil inferior com probabilidade acumulada p (por exemplo, 0{,}1 para p=0{,}1).

Passo 3

Modelo e fórmula para calcular o quantil assumindo distribuição normal (hipótese de trabalho).
  • Supondo que a variável (a vazão mínima anual) seja razoavelmente modelada por uma distribuição normal com média \mu e desvio padrão \sigma, o quantil de probabilidade q (valor tal que a probabilidade acumulada até q é P) é dado por
q=\mu+z_{P}\,\sigma,
onde z_{P} é o quantil da Normal padrão (média 0, desvio padrão 1) correspondente à probabilidade acumulada P. Aqui z_{P} satisfaz P=\Phi(z_{P}), com \Phi a função de distribuição acumulada da normal padrão.
  • Para um tempo de retorno T=10 anos:
    • Se estivermos calculando a vazão mínima com tempo de retorno 10 anos (evento raro de vazão muito baixa), usamos P=p=0{,}1 e, portanto, z_{0{,}1}.
    • Se, ao contrário, alguém calcular 137{,}8\\ \mathrm{m^{3}/s}, isso corresponderia a usar z_{0{,}9} (quantil superior), pois 137{,}8>\mu.

Passo 4

Valor do quantil inferior para p=0{,}1 (vazão mínima de retorno 10 anos).
  • O quantil da normal padrão para P=0{,}1 é conhecido: z_{0{,}1}\approx -1{,}2816. (Esse valor vem de uma tabela ou calculadora da normal padrão: \Phi(-1{,}2816)\approx0{,}1.)
  • Aplicando a fórmula do quantil:
q_{\text{mín}}=\mu+z_{0{,}1}\,\sigma =125 + (-1{,}2816)\cdot 10.í
  • Calcule passo a passo:
(-1{,}2816)\cdot 10 = -12{,}816,
q_{\text{mín}}=125 - 12{,}816 = 112{,}184\\ \mathrm{m^{3}/s}.í
Arredondando razoavelmente (duas casas decimais): q_{\text{mín}}\approx112{,}18\\ \mathrm{m^{3}/s}í.
Portanto, a vazão mínima média anual esperada para tempo de retorno 10 anos é aproximadamente 112{,}18\\ \mathrm{m^{3}/s}, sob a hipótese de normalidade.

Passo 5

Verificação de onde veio 137{,}8\\ \mathrm{m^{3}/s} e interpretação.
  • Se alguém calcula
q=125 + z_{0{,}9}\cdot 10
com z_{0{,}9}\approx +1{,}2816, obtém
q=125 + 1{,}2816\cdot 10 = 125 + 12{,}816 = 137{,}816\\ \mathrm{m^{3}/s},
ou seja, 137{,}8\\ \mathrm{m^{3}/s} (arredondado). Esse valor corresponde ao quantil superior ( P=0{,}9), logo é a vazão máxima anual com tempo de retorno 10 anos (evento de cheia), não a vazão mínima.
  • Conclusão lógica: o valor dado na afirmativa ( 137{,}8\\ \mathrm{m^{3}/s}) é o quantil superior de ordem 0{,}9 (máximo), não o quantil inferior de ordem 0{,}1 (mínimo).

Passo 6

Resposta final acerca da veracidade da afirmativa, com justificativa sucinta.
  • A afirmativa afirma que a “vazão mínima média anual esperada” para T=10 anos é 137{,}8\\ \mathrm{m^{3}/s}.
  • Pelo cálculo correto para mínimos (usar P=1/T=0{,}1 e z_{0{,}1}\approx-1{,}2816), obtém-se cerca de 112{,}18\\ \mathrm{m^{3}/s}.
  • O valor 137{,}8\\ \mathrm{m^{3}/s} corresponde ao quantil superior (máxima), não ao mínimo.
  • Portanto a afirmativa é falsa.

Resposta

\mathbf{F}

Exercícios relacionados