Responda
para verdadeiro e
para afirmativas falsas. Justifique todas as suas escolhas na folha em anexo ) RESPOSTAS SEM JUSTIFICATIVAS SERÃO DESCONSIDERADAS) (7,0 pontos)
( ) A vazão mínima média anual esperada para um tempo de retorno de 10 anos em um rio com vazão média anual de
e desvio padrão de
é de
.
para verdadeiro e
para afirmativas falsas. Justifique todas as suas escolhas na folha em anexo ) RESPOSTAS SEM JUSTIFICATIVAS SERÃO DESCONSIDERADAS) (7,0 pontos)
( ) A vazão mínima média anual esperada para um tempo de retorno de 10 anos em um rio com vazão média anual de
e desvio padrão de
é de
Passo 1
O enunciado pede para avaliar se a afirmativa é verdadeira (
) ou falsa (
) e justificar. A afirmativa diz: “A vazão mínima média anual esperada para um tempo de retorno de 10 anos em um rio com vazão média anual de
e desvio padrão de
é de
.”
Informações dadas:
- média da variável (vazão anual mínima média):
. - desvio padrão:
. - tempo de retorno:
anos. - valor afirmado:
.
O que a pergunta requer: decidir se a afirmação acima é verdadeira ou falsa e justificar matematicamente.
Passo 2
O que significa “tempo de retorno” na prática e como se relaciona com probabilidade.
- O tempo de retorno
(em anos) está ligado à probabilidade anual de ocorrência por
Ou seja, um evento com tempo de retorno
anos tem probabilidade anual
de ocorrer num ano qualquer.
- Quando tratamos de extremos anuais, é importante distinguir se o extremo é o máximo anual (cheia) ou o mínimo anual (escoamento mínimo). Para máximos, o quantil de interesse é o quantil superior com probabilidade acumulada
(por exemplo, 0{,}9 para ). Para mínimos, o quantil de interesse é o quantil inferior com probabilidade acumulada (por exemplo, 0{,}1 para ).
Passo 3
Modelo e fórmula para calcular o quantil assumindo distribuição normal (hipótese de trabalho).
- Supondo que a variável (a vazão mínima anual) seja razoavelmente modelada por uma distribuição normal com média
e desvio padrão , o quantil de probabilidade (valor tal que a probabilidade acumulada até é ) é dado por
onde
é o quantil da Normal padrão (média
, desvio padrão
) correspondente à probabilidade acumulada
. Aqui
satisfaz
, com
a função de distribuição acumulada da normal padrão.
- Para um tempo de retorno
anos: - Se estivermos calculando a vazão mínima com tempo de retorno 10 anos (evento raro de vazão muito baixa), usamos
e, portanto, . - Se, ao contrário, alguém calcular
, isso corresponderia a usar (quantil superior), pois .
- Se estivermos calculando a vazão mínima com tempo de retorno 10 anos (evento raro de vazão muito baixa), usamos
Passo 4
Valor do quantil inferior para
(vazão mínima de retorno 10 anos).
-
O quantil da normal padrão para
é conhecido: . (Esse valor vem de uma tabela ou calculadora da normal padrão: .) -
Aplicando a fórmula do quantil:
- Calcule passo a passo:
Arredondando razoavelmente (duas casas decimais):
.
Portanto, a vazão mínima média anual esperada para tempo de retorno 10 anos é aproximadamente
, sob a hipótese de normalidade.
Passo 5
Verificação de onde veio
e interpretação.
- Se alguém calcula
com
, obtém
ou seja,
(arredondado). Esse valor corresponde ao quantil superior (
), logo é a vazão máxima anual com tempo de retorno 10 anos (evento de cheia), não a vazão mínima.
- Conclusão lógica: o valor dado na afirmativa (
) é o quantil superior de ordem (máximo), não o quantil inferior de ordem (mínimo).
Passo 6
Resposta final acerca da veracidade da afirmativa, com justificativa sucinta.
- A afirmativa afirma que a “vazão mínima média anual esperada” para
anos é . - Pelo cálculo correto para mínimos (usar
e ), obtém-se cerca de . - O valor
corresponde ao quantil superior (máxima), não ao mínimo. - Portanto a afirmativa é falsa.