Responda
para verdadeiro e
para afirmativas falsas. Justifique todas as suas escolhas na folha em anexo ) RESPOSTAS SEM JUSTIFICATIVAS SERÃO DESCONSIDERADAS) (7,0 pontos)
( ) O risco esperado para uma obra falhe ao longo de 5 anos, considerando que foi projetada para um período de retorno de 25 anos, é de 7,8%
para verdadeiro e
para afirmativas falsas. Justifique todas as suas escolhas na folha em anexo ) RESPOSTAS SEM JUSTIFICATIVAS SERÃO DESCONSIDERADAS) (7,0 pontos)
( ) O risco esperado para uma obra falhe ao longo de 5 anos, considerando que foi projetada para um período de retorno de 25 anos, é de 7,8%
Passo 1
O enunciado dá uma única afirmativa e pede que eu diga se ela é verdadeira (
) ou falsa (
) e justifique. A afirmativa é:
“O risco esperado para uma obra falhe ao longo de 5 anos, considerando que foi projetada para um período de retorno de 25 anos, é de 7,8%.”
Informações relevantes fornecidas:
- Período de retorno projetado:
anos. - Horizonte de interesse para o risco:
anos. - Afirmação a testar: probabilidade de falha em
anos igual a .
Passo 2
Entender o que é “período de retorno” e como ele relaciona com probabilidade anual.
Definição e fórmula:
- O período de retorno (ou intervalo de recorrência)
é o número médio de anos entre ocorrências do evento de projeto (o evento que causa a falha). - A probabilidade anual de ocorrência do evento (isto é, a probabilidade de que, em um ano qualquer, ocorra o evento que causa falha) é dada por
Aqui
é a probabilidade em um ano e
é medido em anos.
Aplicando aos dados:
Explicação intuitiva: em média espera-se 1 ocorrência a cada 25 anos, logo em um ano a chance é
.
Passo 3
Como calcular a probabilidade de que a obra falhe ao menos uma vez em
anos?
Raciocínio e fórmula:
- Supondo que os anos sejam eventos independentes quanto à ocorrência do evento de projeto (hipótese comum nesses cálculos), a probabilidade de NÃO ocorrer o evento em um ano é
. - A probabilidade de NÃO ocorrer o evento em todos os
anos é . - Portanto, a probabilidade de ocorrer o evento ao menos uma vez em
anos é o complementar:
Aqui
é a probabilidade anual e
o número de anos.
Passo 4
Aplicar a fórmula com
e
.
Escrevendo a expressão:
Calcular passo a passo (sem pular etapas):
- Primeiro, calcular numerador e denominador em potência:
- Logo
- A probabilidade procurada é
- Agora a fração em decimal (aproximação):
ou seja
Comentário sobre os cálculos: fiz as potências e a subtração em inteiros para obter a fração exata e então a aproximação decimal; isso é reproduzível sem calculadora usando multiplicações sucessivas e divisão longa se necessário.
Passo 5
Comparações e aproximações úteis para prova (truques rápidos):
-
Aproximação linear (precisa apenas dividir):
. - Isto dá uma estimativa rápida; é uma aproximação razoável quando
é pequeno e não é muito grande, mas não é exata. Aqui superestima um pouco (20% vs ).
- Isto dá uma estimativa rápida; é uma aproximação razoável quando
-
Aproximação de Poisson/exponencial (útil para pequenos
):
- Esta aproximação costuma ser muito boa para
pequeno; aqui dá , bem próximo do valor exato .
Essas comparações mostram que um valor de
não aparece em nenhuma abordagem correta — é claramente muito menor que qualquer cálculo correto.
Passo 6
Interpretação final (para a prova, como argumentar de forma curta e clara):
- Mostrar que
. - Usar a fórmula do complementar
. - Calcular e concluir que
. - Logo a afirmativa que dá
está incorreta.
Observação prática: se na prova aparecer um número como
, cheque se não confundiram com outra coisa (por exemplo,
ou erro de cálculo). Sempre escreva a fórmula e faça a potência; isso evita erro por chute.
Passo 7
Resumo motivador: sei que isso dá nó na cabeça quando o tempo é curto, mas o caminho é sempre o mesmo: transforme período de retorno em probabilidade anual
, use o complementar
para
anos, calcule. Pronto — você chega rápido ao resultado correto na folha de prova.