Responda
\mathbf{V}
para verdadeiro e
\mathbf{F}
para afirmativas falsas. Justifique todas as suas escolhas na folha em anexo ) RESPOSTAS SEM JUSTIFICATIVAS SERÃO DESCONSIDERADAS) (7,0 pontos)
( ) O risco esperado para uma obra falhe ao longo de 5 anos, considerando que foi projetada para um período de retorno de 25 anos, é de 7,8%

Passo 1

O enunciado dá uma única afirmativa e pede que eu diga se ela é verdadeira ( \mathbf{V}) ou falsa ( \mathbf{F}) e justifique. A afirmativa é:
“O risco esperado para uma obra falhe ao longo de 5 anos, considerando que foi projetada para um período de retorno de 25 anos, é de 7,8%.”
Informações relevantes fornecidas:
  • Período de retorno projetado: T=25 anos.
  • Horizonte de interesse para o risco: n=5 anos.
  • Afirmação a testar: probabilidade de falha em n=5 anos igual a 7{,}8\%.

Passo 2

Entender o que é “período de retorno” e como ele relaciona com probabilidade anual.
Definição e fórmula:
  • O período de retorno (ou intervalo de recorrência) T é o número médio de anos entre ocorrências do evento de projeto (o evento que causa a falha).
  • A probabilidade anual de ocorrência do evento (isto é, a probabilidade de que, em um ano qualquer, ocorra o evento que causa falha) é dada por
p=\frac{1}{T}.
Aqui p é a probabilidade em um ano e T é medido em anos.
Aplicando aos dados:
p=\frac{1}{25}=0{,}04=4\%.
Explicação intuitiva: em média espera-se 1 ocorrência a cada 25 anos, logo em um ano a chance é 4\%.

Passo 3

Como calcular a probabilidade de que a obra falhe ao menos uma vez em n anos?
Raciocínio e fórmula:
  • Supondo que os anos sejam eventos independentes quanto à ocorrência do evento de projeto (hipótese comum nesses cálculos), a probabilidade de NÃO ocorrer o evento em um ano é 1-p.
  • A probabilidade de NÃO ocorrer o evento em todos os n anos é (1-p)^n.
  • Portanto, a probabilidade de ocorrer o evento ao menos uma vez em n anos é o complementar:
P(\text{pelo menos uma ocorrência em }n\text{ anos}) = 1-(1-p)^n.ê
Aqui p é a probabilidade anual e n o número de anos.

Passo 4

Aplicar a fórmula com p=1/25 e n=5.
Escrevendo a expressão:
P = 1-\left(1-\frac{1}{25}\right)^5 = 1-\left(\frac{24}{25}\right)^5.
Calcular passo a passo (sem pular etapas):
  • Primeiro, calcular numerador e denominador em potência:
24^2=576,\quad 24^3=576\cdot24=13\,824,
24^4=13\,824\cdot24=331\,776,\quad 24^5=331\,776\cdot24=7\,962\,624.
25^2=625,\quad 25^3=15\,625,\quad 25^4=390\,625,\quad 25^5=976\,5625.
  • Logo
\left(\frac{24}{25}\right)^5=\frac{7\,962\,624}{9\,765\,625}.
  • A probabilidade procurada é
P=1-\frac{7\,962\,624}{9\,765\,625}=\frac{9\,765\,625-7\,962\,624}{9\,765\,625}=\frac{1\,803\,001}{9\,765\,625}.
  • Agora a fração em decimal (aproximação):
P\approx 0{,}184626\quad\text{(aprox.)}
ou seja
P\approx 18{,}4626\%.
Comentário sobre os cálculos: fiz as potências e a subtração em inteiros para obter a fração exata e então a aproximação decimal; isso é reproduzível sem calculadora usando multiplicações sucessivas e divisão longa se necessário.

Passo 5

Comparações e aproximações úteis para prova (truques rápidos):
  1. Aproximação linear (precisa apenas dividir): n/T=5/25=0{,}2=20\%.
    • Isto dá uma estimativa rápida; é uma aproximação razoável quando p é pequeno e n não é muito grande, mas não é exata. Aqui superestima um pouco (20% vs 18{,}46\%).
  2. Aproximação de Poisson/exponencial (útil para pequenos p):
P\approx 1-e^{-n/T}=1-e^{-0{,}2}\approx 1-0{,}818731\approx 0{,}181269=18{,}13\%.
  • Esta aproximação costuma ser muito boa para p pequeno; aqui dá 18{,}13\%, bem próximo do valor exato 18{,}46\%.
Essas comparações mostram que um valor de 7{,}8\% não aparece em nenhuma abordagem correta — é claramente muito menor que qualquer cálculo correto.

Passo 6

Interpretação final (para a prova, como argumentar de forma curta e clara):
  • Mostrar que p=1/25=0{,}04.
  • Usar a fórmula do complementar P=1-(1-p)^5.
  • Calcular e concluir que P\approx 18{,}46\%.
  • Logo a afirmativa que dá 7{,}8\% está incorreta.
Observação prática: se na prova aparecer um número como 7{,}8\%, cheque se não confundiram com outra coisa (por exemplo, 1-(24/25)^{2} ou erro de cálculo). Sempre escreva a fórmula e faça a potência; isso evita erro por chute.

Passo 7

Resumo motivador: sei que isso dá nó na cabeça quando o tempo é curto, mas o caminho é sempre o mesmo: transforme período de retorno em probabilidade anual p=1/T, use o complementar 1-(1-p)^n para n anos, calcule. Pronto — você chega rápido ao resultado correto na folha de prova.

Resposta

\mathbf{F}

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