Responda o que se pede:
Expresse a área total de um cone circular reto como função de sua altura x e diâmetro da base y.

Passo 1

O enunciado pede que eu expresse a área total de um cone circular reto como função de sua altura x e do diâmetro da base y.\n
Informações dadas:
\;x = altura do cone (reta perpendicular ao plano da base);\n
\;y = diâmetro da base do cone.\n
O que se pede: escrever a área total A do cone em termos de x e y (ou seja, obter A(x,y)).

Passo 2

Vamos identificar as partes da área total do cone. A área total de um cone circular reto é a soma da área lateral e da área da base.\n
Definições e fórmulas básicas que vamos usar (vou explicar cada coisa):
  • raio da base: como o enunciado deu o diâmetro y, o raio \;r é metade do diâmetro. Logo
r=\frac{y}{2}.
  • área da base: a base é um círculo de raio r, então sua área é
\text{área da base}=\pi r^{2}.á
Aqui \pi é a constante geométrica (~3,1415…), e r^{2} significa r vezes r.
  • área lateral: para um cone reto, a área lateral é dada por
\text{área lateral}=\pi r l,á
onde l é a geratriz (ou altura inclinada, chamada também de “slant height”), isto é, a medida do segmento que vai do centro da borda da base até o vértice do cone ao longo da superfície.

Passo 3

Agora precisamos relacionar a geratriz l com as grandezas dadas x (altura) e r (raio). Olhe o triângulo retângulo formado pela altura x, pelo raio r e pela geratriz l: esses três formam um triângulo retângulo com hipotenusa l e catetos x e r. Pelo Teorema de Pitágoras:
l=\sqrt{x^{2}+r^{2}}.
Explicando o porquê: o Teorema de Pitágoras diz que, num triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos, ou seja l^{2}=x^{2}+r^{2}. Tirando a raiz, obtemos l=\sqrt{x^{2}+r^{2}}.

Passo 4

Agora somamos as áreas (lateral + base) para obter a área total A:
A=\pi r l + \pi r^{2}.
Substituindo a expressão de l obtida no Passo 3:
A=\pi r \sqrt{x^{2}+r^{2}} + \pi r^{2}.
Aqui cada termo tem significado claro: o primeiro é a área lateral ( \pi r l com l=\sqrt{x^{2}+r^{2}}) e o segundo é a área da base ( \pi r^{2}).

Passo 5

Agora substituo r=\dfrac{y}{2} (passo obrigatório porque o enunciado quer a área em função de x e y). Primeiro calcule r^{2}:
r^{2}=\left(\frac{y}{2}\right)^{2}=\frac{y^{2}}{4}.
Substituindo em A=\pi r \sqrt{x^{2}+r^{2}} + \pi r^{2} temos:
A=\pi\left(\frac{y}{2}\right)\sqrt{x^{2}+\frac{y^{2}}{4}} \;+\; \pi\frac{y^{2}}{4}.
Posso reescrever de uma forma levemente mais compacta agrupando \pi:
A=\frac{\pi y}{2}\sqrt{x^{2}+\frac{y^{2}}{4}}+\frac{\pi y^{2}}{4}.
Outra forma equivalente, factorizando \dfrac{\pi}{4}, é
A=\frac{\pi}{4}\Big(2y\sqrt{x^{2}+\frac{y^{2}}{4}}+y^{2}\Big).
Ambas as expressões são a mesma função A(x,y); escolha a que você achar mais elegante na prova.

Resposta

A(x,y)=\frac{\pi y}{2}\sqrt{x^{2}+\frac{y^{2}}{4}}+\frac{\pi y^{2}}{4}.

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