Responda o que se pede:
Expresse a área total de um cone circular reto como função de sua altura
e diâmetro da base
.
Expresse a área total de um cone circular reto como função de sua altura
Passo 1
O enunciado pede que eu expresse a área total de um cone circular reto como função de sua altura
e do diâmetro da base
.\n
Informações dadas:
= altura do cone (reta perpendicular ao plano da base);\n
= diâmetro da base do cone.\n
O que se pede: escrever a área total do cone em termos de
e
(ou seja, obter
).
Informações dadas:
O que se pede: escrever a área total
Passo 2
Vamos identificar as partes da área total do cone. A área total de um cone circular reto é a soma da área lateral e da área da base.\n
Definições e fórmulas básicas que vamos usar (vou explicar cada coisa):
Definições e fórmulas básicas que vamos usar (vou explicar cada coisa):
- raio da base: como o enunciado deu o diâmetro
, o raio é metade do diâmetro. Logo
- área da base: a base é um círculo de raio
, então sua área é
Aqui
é a constante geométrica (~3,1415…), e
significa
vezes
.
- área lateral: para um cone reto, a área lateral é dada por
onde
é a geratriz (ou altura inclinada, chamada também de “slant height”), isto é, a medida do segmento que vai do centro da borda da base até o vértice do cone ao longo da superfície.
Passo 3
Agora precisamos relacionar a geratriz
com as grandezas dadas
(altura) e
(raio). Olhe o triângulo retângulo formado pela altura
, pelo raio
e pela geratriz
: esses três formam um triângulo retângulo com hipotenusa
e catetos
e
. Pelo Teorema de Pitágoras:
Explicando o porquê: o Teorema de Pitágoras diz que, num triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos, ou seja
. Tirando a raiz, obtemos
.
Passo 4
Agora somamos as áreas (lateral + base) para obter a área total
:
Substituindo a expressão de
obtida no Passo 3:
Aqui cada termo tem significado claro: o primeiro é a área lateral (
com
) e o segundo é a área da base (
).
Passo 5
Agora substituo
(passo obrigatório porque o enunciado quer a área em função de
e
). Primeiro calcule
:
Substituindo em
temos:
Posso reescrever de uma forma levemente mais compacta agrupando
:
Outra forma equivalente, factorizando
, é
Ambas as expressões são a mesma função
; escolha a que você achar mais elegante na prova.