Determine e esboce o domínio da função.
f(x, y, z)=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}-4}

Passo 1

O enunciado pede que eu determine (isto é, encontre) e esboce o domínio da função
f(x,y,z)=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}-4}.
Informações fornecidas:
\text{função } f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R} \text{ dada por } f(x,y,z)=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}-4}.çã
O que se espera: (1) achar o conjunto de pontos (x,y,z) para os quais f está bem definida (o domínio) e (2) explicar como esboçar esse domínio no espaço (desenho/descrição).

Passo 2

Regra básica que precisamos lembrar (aulas rápidas e úteis): a raiz quadrada real \sqrt{u} está definida apenas quando o radicando u é maior ou igual a zero. Ou seja, para qualquer expressão do tipo \sqrt{u} com resultado real exigimos
u \ge 0.
Exemplo simples fora do problema: \sqrt{5} está bem definida porque 5\ge0, enquanto \sqrt{-1} não é número real porque -1<0.

Passo 3

Aplicando essa regra ao nosso radicando, temos que exigir
x^{2}+y^{2}+z^{2}-4 \ge 0.
Isolando, obtemos
x^{2}+y^{2}+z^{2} \ge 4.
Expliquei passo a passo: eu peguei o radicando x^{2}+y^{2}+z^{2}-4 e somei 4 nos dois lados da desigualdade para ficar com a forma usual de soma de quadrados à esquerda.

Passo 4

Interpretação geométrica (a mais importante para esboçar): a expressão
x^{2}+y^{2}+z^{2}
é o quadrado da distância do ponto (x,y,z) ao origem (0,0,0). Se eu definir
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}},
então a desigualdade do Passo 3 fica
r^{2}\ge 4 \quad\Longleftrightarrow\quad r\ge 2.
Ou seja: o domínio é o conjunto de pontos cuja distância ao origem é maior ou igual a 2. Geometricamente, isso é o exterior da esfera de raio 2 centrada na origem, incluindo a superfície dessa esfera.

Passo 5

Descrição formal em notação de conjuntos (útil na prova):
D=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}\ge 4\}.
Outra forma equivalente, em termos de distância:
D=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\ge 2\}.

Passo 6

Como esboçar passo a passo (truque prático para prova — cortar fatias):
  • Primeiro desenhe a esfera de raio 2 centrada na origem: é a superfície dada por x^{2}+y^{2}+z^{2}=4.
  • O domínio é tudo fora dessa superfície (região externa) mais a própria superfície.
  • Se quiser esboçar por fatias horizontais (método que funciona bem numa folha):
    • Fixe z=\text{const}. A condição vira x^{2}+y^{2}\ge 4-z^{2}.
    • Se |z|>2, então 4-z^{2}<0 e a desigualdade vale para todo (x,y): a fatia inteira está no domínio (porque pontos com |z|>2 já têm distância ao origem maior que 2).
    • Se |z|\le 2, então a fatia é o exterior (na reta do plano z= constante) de um círculo de raio \sqrt{4-z^{2}}. Exemplo: para z=0 a fatia é x^{2}+y^{2}\ge 4 (fora do círculo de raio 2); para z=1 a fatia é x^{2}+y^{2}\ge 3 (fora do círculo de raio \sqrt{3}).
  • No esboço 3D, marque a esfera de raio 2 e pinte a região externa (com setas apontando para fora), indicando que a superfície está incluída.

Passo 7

Resumo didático final e motivacional: o raciocínio principal é sempre checar o domínio do radicando. Aqui deu uma condição muito simples e geométrica: distância ao origem maior ou igual a 2. Na prova, se perguntarem rapidamente, escreva a desigualdade, passe para r\ge2 e descreva como exterior da esfera. Você consegue — respira e faz os passos com calma.

Resposta

D=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}\ge 4\}
Exterior (incluindo a superfície) da esfera de raio 2 centrada na origem.

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