Determine e esboce o domínio da função.
Passo 1
O enunciado pede que eu determine (isto é, encontre) e esboce o domínio da função
Informações fornecidas:
O que se espera: (1) achar o conjunto de pontos
para os quais
está bem definida (o domínio) e (2) explicar como esboçar esse domínio no espaço (desenho/descrição).
Passo 2
Regra básica que precisamos lembrar (aulas rápidas e úteis): a raiz quadrada real
está definida apenas quando o radicando
é maior ou igual a zero. Ou seja, para qualquer expressão do tipo
com resultado real exigimos
Exemplo simples fora do problema:
está bem definida porque
, enquanto
não é número real porque
.
Passo 3
Aplicando essa regra ao nosso radicando, temos que exigir
Isolando, obtemos
Expliquei passo a passo: eu peguei o radicando
e somei
nos dois lados da desigualdade para ficar com a forma usual de soma de quadrados à esquerda.
Passo 4
Interpretação geométrica (a mais importante para esboçar): a expressão
é o quadrado da distância do ponto
ao origem
. Se eu definir
então a desigualdade do Passo 3 fica
Ou seja: o domínio é o conjunto de pontos cuja distância ao origem é maior ou igual a
. Geometricamente, isso é o exterior da esfera de raio
centrada na origem, incluindo a superfície dessa esfera.
Passo 5
Descrição formal em notação de conjuntos (útil na prova):
Outra forma equivalente, em termos de distância:
Passo 6
Como esboçar passo a passo (truque prático para prova — cortar fatias):
- Primeiro desenhe a esfera de raio
centrada na origem: é a superfície dada por . - O domínio é tudo fora dessa superfície (região externa) mais a própria superfície.
- Se quiser esboçar por fatias horizontais (método que funciona bem numa folha):
- Fixe
. A condição vira - Se
, então e a desigualdade vale para todo : a fatia inteira está no domínio (porque pontos com já têm distância ao origem maior que ). - Se
, então a fatia é o exterior (na reta do plano constante) de um círculo de raio . Exemplo: para a fatia é (fora do círculo de raio ); para a fatia é (fora do círculo de raio ).
- Fixe
- No esboço 3D, marque a esfera de raio
e pinte a região externa (com setas apontando para fora), indicando que a superfície está incluída.
Passo 7
Resumo didático final e motivacional: o raciocínio principal é sempre checar o domínio do radicando. Aqui deu uma condição muito simples e geométrica: distância ao origem maior ou igual a
. Na prova, se perguntarem rapidamente, escreva a desigualdade, passe para
e descreva como exterior da esfera. Você consegue — respira e faz os passos com calma.
Resposta
Exterior (incluindo a superfície) da esfera de raio
centrada na origem.