Responda o que se pede *
Sabendo que a Entropia de um sistema pode ser relacionada com a temperatura e o volume por meio da seguinte expressão:
\mathrm{ds}=\frac{\mathrm{C}_{\mathrm{v}}}{\mathrm{~T}} \mathrm{dT}+\frac{\mathrm{P}}{\mathrm{~T}} \mathrm{dV}
Qual o valor da variação da entropia obtida para um mol de gás ideal quando a temperatura aumenta de 100 K para 300 K . Neste caso, considere que a capacidade calorifica molar ( \mathrm{C}_{\mathrm{v}, \mathrm{m}} ) é igual \frac{3}{2} R. Considere \mathrm{R}=8,314 \mathrm{~J} \mathrm{~mol}^{-1} \mathrm{~K}^{-1}
a) -12,03 \mathrm{~J} \mathrm{~mol}^{-1}.
b) +13,70 \mathrm{~J} \mathrm{~mol}^{-1}.
c) -18,36 \mathrm{~J} \mathrm{~mol}^{-1}.
d) +28,00 \mathrm{~J} \mathrm{~mol}^{-1}.
e) +10,0 \mathrm{~J} \mathrm{~mol}^{-1}.

Passo 1

O enunciado pede a variação da entropia para um mol de gás ideal quando a temperatura sobe de 100\\ \mathrm{K} para 300\\ \mathrm{K}. Dados fornecidos:
  • A expressão diferencial da entropia: \mathrm{d}s=\frac{\mathrm{C}_v}{T}\,\mathrm{d}T+\frac{P}{T}\,\mathrm{d}V.
  • Capacidade calorífica molar C_{v,\mathrm{m}}=\dfrac{3}{2}R.
  • Constante dos gases R=8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.
  • Variação de temperatura: T_1=100\\ \mathrm{K} e T_2=300\\ \mathrm{K}.
A pergunta implícita (necessária para obter um valor numérico) é qual processo foi considerado durante o aquecimento — aqui será adotado o processo indicado pelos dados disponíveis.

Passo 2

Por que podemos usar apenas a primeira parcela \dfrac{C_v}{T}\,\mathrm{d}T para calcular \Delta S neste problema?
  • Para um gás ideal vale a relação de estado P V = R T (por mol). Assim \dfrac{P}{T}=\dfrac{R}{V} e podemos escrever \mathrm{d}s=\frac{C_v}{T}\,\mathrm{d}T+\frac{R}{V}\,\mathrm{d}V.
  • A entropia é função de estado: \Delta S depende apenas dos estados inicial e final, não do caminho. Porém, para especificar completamente os estados de um gás ideal é preciso conhecer duas variáveis (por exemplo T e V ou T e P). O enunciado só fornece temperaturas e C_v, não fornece volumes nem pressões.
  • A prática comum nesses exercícios é assumir um aquecimento reversível a volume constante (processo isocórico), porque então \mathrm{d}V=0 e a integral fica diretamente calculável com os dados fornecidos. Além disso, escolher um caminho reversível isocórico entre os estados é válido porque \Delta S é bem definido para esse par de estados (o problema está pedindo o resultado correspondente a esse aquecimento).
Portanto, para prosseguir, consideramos o processo isocórico ( \mathrm{d}V=0), o que elimina a segunda parcela.

Passo 3

Com \mathrm{d}V=0 a diferencial simplifica para
\mathrm{d}s=\frac{C_v}{T}\,\mathrm{d}T.
A variação de entropia entre T_1 e T_2 é a integral
\Delta S=\int_{T_1}^{T_2}\frac{C_v}{T}\,\mathrm{d}T.
Se C_v é constante (aqui C_{v,\mathrm{m}}=\tfrac{3}{2}R, constante), a integral é direta:
\Delta S=C_v\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right).

Passo 4

Agora substituímos os valores numéricos.
Primeiro o valor de C_v:
C_v=\frac{3}{2}R=\frac{3}{2}\cdot 8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}=12{,}471\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.
Em seguida o logaritmo:
\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right)=\ln\!\left(\frac{300}{100}\right)=\ln(3)\approx 1{,}098612289.
Multiplicando:
\Delta S = 12{,}471\times 1{,}098612289 \approx 13{,}699\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}.
Arredondando para duas casas decimais: \Delta S\approx 13{,}70\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}.

Passo 5

Interpretação final e checagem: o sinal é positivo porque a temperatura aumentou e, em um aquecimento reversível isocórico, a entropia do gás aumenta. Comparando com as alternativas dadas, a que coincide é a letra (b).

Resposta

+13{,}70\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}

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