Responda o que se pede *
Considere um sistema que executa um ciclo termodinâmico completo. Sobre a integral de calor ao longo do ciclo, assinale a alternativa correta:
a) \oint \delta Q=0 para qualquer ciclo
b) \oint \delta Q=\oint \delta W
c) \oint \delta Q=\Delta U
d) \oint \delta Q<0 para ciclos irreversíveis
e) \oint \delta Q>0 para ciclos irreversíveis

Passo 1

O que o enunciado pede: escolher qual das alternativas (a)–(e) é correta sobre a integral do calor ao longo de um ciclo termodinâmico completo.
As alternativas dadas são:
  • (a) \oint \delta Q=0 para qualquer ciclo
  • (b) \oint \delta Q=\oint \delta W
  • (c) \oint \delta Q=\Delta U
  • (d) \oint \delta Q<0 para ciclos irreversíveis
  • (e) \oint \delta Q>0 para ciclos irreversíveis
Informações relevantes implícitas no enunciado:
  • Trata-se de um ciclo termodinâmico completo, ou seja o sistema retorna ao mesmo estado inicial no final do ciclo.
  • Não há restrição explícita sobre reversibilidade; a afirmação deve ser verdadeira (ou falsa) para ciclos em geral, salvo indicação contrária.

Passo 2

Enunciando a Primeira Lei da Termodinâmica (forma diferencial) e explicando os símbolos:
\mathrm{d}U=\delta Q-\delta W.
Aqui:
  • \mathrm{d}U é a variação infinitesimal da energia interna do sistema. É um diferencial exato (porque U é uma função de estado).
  • \delta Q é o calor trocado infinitesimalmente com o entorno. É um diferencial inexato (depende do caminho).
  • \delta W é o trabalho infinitesimal realizado pelo sistema sobre o entorno (uso a convenção padrão dU=\delta Q-\delta W). Também é um diferencial inexato.
Explicação didática: a Primeira Lei expressa conservação de energia — a energia interna muda quando o sistema recebe calor e/ou realiza trabalho. Não é necessário já saber muitas fórmulas além dessa relação básica.

Passo 3

Integrando a Primeira Lei sobre todo o ciclo fechado:
\oint \mathrm{d}U=\oint \delta Q-\oint \delta W.
Agora aplicamos um fato fundamental sobre diferenciais exatos e funções de estado: se U é função de estado, ao percorrer um ciclo completo o sistema volta ao mesmo estado inicial, portanto a variação total de U ao longo do ciclo é zero. Em símbolos:
\oint \mathrm{d}U=\Delta U_{\text{ciclo}}=0.
Justificativa simples: a integral de um diferencial exato sobre um caminho fechado é U(\text{final})-U(\text{inicial}); num ciclo isso é zero.

Passo 4

Com \oint \mathrm{d}U=0 a relação do Passo 3 fica
0=\oint \delta Q-\oint \delta W,
ou seja,
\oint \delta Q=\oint \delta W.
Interpretação clara e útil: em qualquer ciclo termodinâmico completo a soma algébrica dos calores trocados durante o ciclo (isto é, o calor líquido recebido pelo sistema) é igual ao trabalho líquido realizado pelo sistema durante o ciclo. Esta igualdade não depende de o processo ser reversível ou irreversível; é consequência direta da conservação de energia.

Passo 5

Verificando por contraste as alternativas:
  • Alternativa (b) corresponde exatamente à igualdade obtida acima: \oint \delta Q=\oint \delta W. Por dedução, essa relação é verdadeira para qualquer ciclo completo (usando a Primeira Lei).
  • Alternativa (a): \oint \delta Q=0 seria verdadeira apenas se \oint \delta W=0. Mas há muitos ciclos (por exemplo, um motor térmico que produz trabalho líquido) em que \oint \delta W\neq0. Logo (a) é falsa em geral.
  • Alternativa (c): \oint \delta Q=\Delta U. Num ciclo \Delta U=0, então (c) implicaria \oint \delta Q=0; novamente falso em geral pelo mesmo motivo que anulamos (a).
  • Alternativas (d) e (e) afirmam sinais fixos para \oint \delta Q quando o ciclo é irreversível. A irreversibilidade não impõe sinal fixo ao calor líquido do ciclo: um ciclo irreversível pode produzir trabalho líquido (portanto \oint \delta Q>0 no sentido calor absorvido > calor rejeitado) ou pode requerer trabalho líquido (portanto \oint \delta Q<0), dependendo do processo. Assim não se pode afirmar genericamente (d) nem (e).

Passo 6

Exemplo simples para fixar a intuição (sem números): um motor térmico irreversível recebe \,Q_H do reservatório quente e rejeita \,Q_C ao reservatório frio, fazendo trabalho W. Para o ciclo temos
\oint \delta Q=Q_H-Q_C,\qquad \oint \delta W=W,
e a Primeira Lei dá Q_H-Q_C=W. Se o motor produz trabalho líquido, então Q_H>Q_C e \oint \delta Q>0; se o ciclo fosse o inverso (uma bomba/refrigerador), o sinal muda. Portanto o sinal de \oint \delta Q não é determinado apenas pela irreversibilidade.

Resposta

b) \oint \delta Q=\oint \delta W

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