Responda às perguntas:
Quais as possíveis posições relativas da reta no espaço? Desenhe cada caso. (não precisa de exemplos numéricos)

Passo 1

O que o enunciado pede: listar todas as posições relativas possíveis entre duas retas no espaço e desenhar cada caso.
Informações dadas / assumidas: não há números nem equações; tratar o caso geral de duas retas distintas quaisquer no espaço tridimensional.

Passo 2

Como representar uma reta no espaço (lembrando do básico).
  • Uma reta pode ser dada na forma paramétrica por \vec r=\vec p+t\vec v, onde:
    • \vec p é um ponto qualquer da reta (um vetor posição).
    • \vec v é o vetor diretor da reta (indica a direção).
    • t\in\mathbb{R} é o parâmetro.
  • Para duas retas L_1 e L_2 usaremos L_1:\\ \vec r=\vec p_1+t\,\vec v_1,\qquad L_2:\\ \vec r=\vec p_2+s\,\vec v_2,com parâmetros t,s\in\mathbb{R}.
    Explicação didática: a essência de comparar retas é comparar os vetores diretores \vec v_1,\vec v_2 (são paralelos ou não?) e a posição relativa dos pontos \vec p_1,\vec p_2.

Passo 3

Caso “vetores diretores proporcionais” — paralelismo.
  • Se existe k\neq0 tal que \vec v_1=k\vec v_2, dizemos que as retas são paralelas (têm a mesma direção). Uma forma prática de testar isso é verificar \vec v_1\times\vec v_2=\vec 0.Se o produto vetorial é o vetor nulo, os vetores são paralelos (ou um é nulo).
  • A partir daí há duas sub‑situações:
    1. Coincidentes: as duas retas são a mesma reta (todas as posições coincidem). Isso ocorre quando, além de \vec v_1 paralelo a \vec v_2, o vetor entre pontos \vec p_2-\vec p_1 também é paralelo a \vec v_1, isto é (\vec p_2-\vec p_1)\times\vec v_1=\vec 0.Intuição: se o segmento que liga um ponto de L_1 ao de L_2 tem a mesma direção, então um ponto de uma está em cima da outra — são a mesma reta.
    2. Paralelas distintas: \vec v_1 e \vec v_2 são paralelos mas (\vec p_2-\vec p_1)\times\vec v_1\neq\vec 0. Intuição: mesmas direções, mas deslocadas — nunca se encontram.

Passo 4

Caso “vetores diretores não proporcionais” — direções diferentes.
  • Se \vec v_1\times\vec v_2\neq\vec 0 então as retas têm direções distintas (não são paralelas). Aqui surgem duas possibilidades:
    1. Intersectantes (concorrentes): as retas se cortam em um único ponto. Geometricamente isso acontece se elas forem coplanares e tiverem direções diferentes. Um teste prático de coplanaridade é o produto misto (produto escalar de um vetor com o produto vetorial de dois vetores): (\vec p_2-\vec p_1)\cdot(\vec v_1\times\vec v_2)=0.Se esse valor for zero e \vec v_1\times\vec v_2\neq\vec 0, as retas estão no mesmo plano e, por terem direções diferentes, necessariamente se intersectam em um ponto (existe solução t,s tal que \vec p_1+t\vec v_1=\vec p_2+s\vec v_2).
    2. Reversas (ou “skew”): as retas não se cruzam e não são paralelas — estão em planos diferentes. Isso acontece quando (\vec p_2-\vec p_1)\cdot(\vec v_1\times\vec v_2)\neq 0.Intuição: as direções são diferentes e o segmento que liga pontos das retas não fica no plano gerado por \vec v_1 e \vec v_2; portanto as retas não se encontram.

Passo 5

Resumo didático das condições e por que funcionam (com palavras simples).
  • Primeiro olhar: são as direções proporcionais? (ver \vec v_1\times\vec v_2).
    • Se sim, ou as retas coincidem (tudo sobreposto) ou são paralelas distintas (mesma direção, deslocadas). Decidir olhando se o vetor entre pontos é paralelo à direção comum.
    • Se não (direções diferentes), então ou elas se cruzam (estão no mesmo plano) ou são reversas (em planos diferentes). A expressão escalar (\vec p_2-\vec p_1)\cdot(\vec v_1\times\vec v_2) mede exatamente se os três vetores estão no mesmo plano (zero) ou não (não zero).

Passo 6

Desenhos (esboços) de cada caso. Em cada quadro, L_1 e L_2 são as duas retas.
Coincidentes (mesma reta):
L1 e L2 ficam exatamente uma sobre a outra.
L1/L2: ----------------------------->
Paralelas distintas:
Duas linhas paralelas, nunca se cruzam.
L1: ----------------------------->
L2: ------------------------->
Intersectantes (concorrentes) — se cruzam num ponto (no mesmo plano):
L1: \ /
\ /
/
/
/
L2: / \
(ou mais simplesmente:)
L1: \ /
L2: X (cruzam em X)
Reversas (skew) — não paralelas, não se cruzam (vêm de planos diferentes):
Vista em perspectiva:
L1: ________ (linha à frente inclinada)
L2: ______/ (linha atrás inclinada em outra direção)
As setas mostram que elas não se encontram; uma está “desfasada” em altura/posição.

Passo 7

Dica prática para a prova (passo a passo rápido para classificar duas retas dadas por equações):
  1. Calcular \vec v_1\times\vec v_2.
  2. Se \vec v_1\times\vec v_2=\vec 0 então as retas são paralelas; testar (\vec p_2-\vec p_1)\times\vec v_1 para decidir entre coincidentes ou paralelas distintas.
  3. Se \vec v_1\times\vec v_2\neq\vec 0 então calcular (\vec p_2-\vec p_1)\cdot(\vec v_1\times\vec v_2). Se for 0 são intersectantes; se não for 0 são reversas (skew).
    Relaxa: segue esse fluxograma na prova e resolve rapidinho.

Resposta

Coincidentes
Paralelas distintas
Intersectantes (concorrentes)
Reversas (skew)

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