Responda às perguntas:
Quais as possíveis posições relativas da reta no espaço? Desenhe cada caso. (não precisa de exemplos numéricos)
Quais as possíveis posições relativas da reta no espaço? Desenhe cada caso. (não precisa de exemplos numéricos)
Passo 1
O que o enunciado pede: listar todas as posições relativas possíveis entre duas retas no espaço e desenhar cada caso.
Informações dadas / assumidas: não há números nem equações; tratar o caso geral de duas retas distintas quaisquer no espaço tridimensional.
Informações dadas / assumidas: não há números nem equações; tratar o caso geral de duas retas distintas quaisquer no espaço tridimensional.
Passo 2
Como representar uma reta no espaço (lembrando do básico).
- Uma reta pode ser dada na forma paramétrica por
, onde: -
é um ponto qualquer da reta (um vetor posição). -
é o vetor diretor da reta (indica a direção). -
é o parâmetro.
-
- Para duas retas
e usaremos com parâmetros .
Explicação didática: a essência de comparar retas é comparar os vetores diretores(são paralelos ou não?) e a posição relativa dos pontos .
Passo 3
Caso “vetores diretores proporcionais” — paralelismo.
- Se existe
tal que , dizemos que as retas são paralelas (têm a mesma direção). Uma forma prática de testar isso é verificar Se o produto vetorial é o vetor nulo, os vetores são paralelos (ou um é nulo). - A partir daí há duas sub‑situações:
- Coincidentes: as duas retas são a mesma reta (todas as posições coincidem). Isso ocorre quando, além de
paralelo a , o vetor entre pontos também é paralelo a , isto é Intuição: se o segmento que liga um ponto de ao de tem a mesma direção, então um ponto de uma está em cima da outra — são a mesma reta. - Paralelas distintas:
e são paralelos mas . Intuição: mesmas direções, mas deslocadas — nunca se encontram.
- Coincidentes: as duas retas são a mesma reta (todas as posições coincidem). Isso ocorre quando, além de
Passo 4
Caso “vetores diretores não proporcionais” — direções diferentes.
- Se
então as retas têm direções distintas (não são paralelas). Aqui surgem duas possibilidades: - Intersectantes (concorrentes): as retas se cortam em um único ponto. Geometricamente isso acontece se elas forem coplanares e tiverem direções diferentes. Um teste prático de coplanaridade é o produto misto (produto escalar de um vetor com o produto vetorial de dois vetores):
Se esse valor for zero e , as retas estão no mesmo plano e, por terem direções diferentes, necessariamente se intersectam em um ponto (existe solução tal que ). - Reversas (ou “skew”): as retas não se cruzam e não são paralelas — estão em planos diferentes. Isso acontece quando
Intuição: as direções são diferentes e o segmento que liga pontos das retas não fica no plano gerado por e ; portanto as retas não se encontram.
- Intersectantes (concorrentes): as retas se cortam em um único ponto. Geometricamente isso acontece se elas forem coplanares e tiverem direções diferentes. Um teste prático de coplanaridade é o produto misto (produto escalar de um vetor com o produto vetorial de dois vetores):
Passo 5
Resumo didático das condições e por que funcionam (com palavras simples).
- Primeiro olhar: são as direções proporcionais? (ver
). - Se sim, ou as retas coincidem (tudo sobreposto) ou são paralelas distintas (mesma direção, deslocadas). Decidir olhando se o vetor entre pontos é paralelo à direção comum.
- Se não (direções diferentes), então ou elas se cruzam (estão no mesmo plano) ou são reversas (em planos diferentes). A expressão escalar
mede exatamente se os três vetores estão no mesmo plano (zero) ou não (não zero).
Passo 6
Desenhos (esboços) de cada caso. Em cada quadro,
e
são as duas retas.
Coincidentes (mesma reta):
L1 e L2 ficam exatamente uma sobre a outra.
L1/L2: ----------------------------->
L1 e L2 ficam exatamente uma sobre a outra.
L1/L2: ----------------------------->
Paralelas distintas:
Duas linhas paralelas, nunca se cruzam.
L1: ----------------------------->
L2: ------------------------->
Duas linhas paralelas, nunca se cruzam.
L1: ----------------------------->
L2: ------------------------->
Intersectantes (concorrentes) — se cruzam num ponto (no mesmo plano):
L1: \ /
\ /
/
/
/
L2: / \
L1: \ /
\ /
/
/
/
L2: / \
(ou mais simplesmente:)
L1: \ /
L2: X (cruzam em X)
L1: \ /
L2: X (cruzam em X)
Reversas (skew) — não paralelas, não se cruzam (vêm de planos diferentes):
Vista em perspectiva:
L1: ________ (linha à frente inclinada)
Vista em perspectiva:
L1: ________ (linha à frente inclinada)
L2: ______/ (linha atrás inclinada em outra direção)
As setas mostram que elas não se encontram; uma está “desfasada” em altura/posição.
As setas mostram que elas não se encontram; uma está “desfasada” em altura/posição.
Passo 7
Dica prática para a prova (passo a passo rápido para classificar duas retas dadas por equações):
- Calcular
. - Se
então as retas são paralelas; testar para decidir entre coincidentes ou paralelas distintas. - Se
então calcular . Se for são intersectantes; se não for são reversas (skew).
Relaxa: segue esse fluxograma na prova e resolve rapidinho.
Resposta
Coincidentes
Paralelas distintas
Intersectantes (concorrentes)
Reversas (skew)
Paralelas distintas
Intersectantes (concorrentes)
Reversas (skew)