Responda as questões abaixo e justifique suas respostas:
Pode um orbital ter o conjunto de números quânticos: \mathrm{n}=3 ; \ell=0 ; \mathrm{m}=0 ?

Passo 1

O enunciado dá o conjunto de números quânticos \mathrm{n}=3, \ell=0, \mathrm{m}=0 e pergunta se esse conjunto pode representar um orbital.
Informações fornecidas (pegas do enunciado):
  • \mathrm{n}=3
  • \ell=0
  • \mathrm{m}=0
A pergunta explícita: “Pode um orbital ter esse conjunto de números quânticos?”

Passo 2

Vamos lembrar, passo a passo e sem pressa, quais são as regras que definem números quânticos para um orbital (não estamos incluindo o spin agora, porque spin é do elétron, não do orbital em si).
Regra 1 — número quântico principal \mathrm{n}:
  • \mathrm{n} é um inteiro positivo: \mathrm{n}=1,2,3,\dots.
  • Fizendo sentido físico: \mathrm{n} indica o nível de energia principal (camada).
Regra 2 — número quântico azimutal (orbital) \ell:
  • \ell é inteiro e satisfaz 0 \le \ell \le \mathrm{n}-1.
  • Ou seja, para cada \mathrm{n} existem os valores \ell = 0,1,\dots,\mathrm{n}-1.
  • Físico: \ell está relacionado ao momento angular orbital; também dá o “tipo” do orbital (para \ell=0 chama-se s, \ell=1 chama-se p, \ell=2 chama-se d, etc).
Regra 3 — número quântico magnético \mathrm{m} (às vezes \mathrm{m}_\ell):
  • \mathrm{m} é inteiro e satisfaz -\ell \le \mathrm{m} \le \ell.
  • Ou seja, para um dado \ell os valores possíveis são \mathrm{m}=-\ell,-\ell+1,\dots,0,\dots,\ell.
  • Físico: \mathrm{m} indica a orientação espacial do orbital (degenerescência magnética em ausência de campo magnético).
Essas são as condições formais que vamos aplicar ao conjunto dado.

Passo 3

Aplicando as regras ao conjunto \mathrm{n}=3, \ell=0, \mathrm{m}=0.
  1. Verificar \ell em relação a \mathrm{n}:
  • Para \mathrm{n}=3, os \ell permitidos são 0,1,2 (porque 0 \le \ell \le \mathrm{n}-1 = 2).
  • O valor dado \ell=0 está entre esses, então \ell=0 é permitido.
  1. Verificar \mathrm{m} em relação a \ell:
  • Para \ell=0, os possíveis \mathrm{m} são os inteiros entre -0 e 0, isto é apenas \mathrm{m}=0.
  • O valor dado \mathrm{m}=0 é exatamente o único permitido para \ell=0, portanto também é permitido.
Conclusão lógica: as duas condições são satisfeitas simultaneamente, então o conjunto é permitido.

Passo 4

Interpretação física e notação prática (para você decorar e usar na prova):
  • O conjunto \mathrm{n}=3,\\ \ell=0,\\ \mathrm{m}=0 corresponde ao orbital chamado de “3s”. Em geral, a notação é \mathrm{n}\ell com \ell em letra: \ell=0\Rightarrow s, \ell=1\Rightarrow p, \ell=2\Rightarrow d, etc. Logo: 3s.
  • Propriedades do 3s:
    • Simetria esférica (porque \ell=0 implica que a dependência angular é constante em todas as direções).
    • Momento angular orbital: L^2=\ell(\ell+1)\hbar^2=0(0+1)\hbar^2=0. Ou seja, momento angular orbital nulo (em magnitude).
    • Número de nós radiais (um detalhe útil na prova): \text{nós radiais}=\mathrm{n}-\ell-1=3-0-1=2.ó Então o 3s tem duas regiões nodais radiais (duas esferas onde a função de onda anula-se).
  • Número total de orbitais no nível \mathrm{n}=3 é \mathrm{n}^2=9. Explicitamente os pares (\ell,\mathrm{m}) para \mathrm{n}=3 são:
    • \ell=0:\\ \mathrm{m}=0 (o 3s);
    • \ell=1:\\ \mathrm{m}=-1,0,1 (os três 3p);
    • \ell=2:\\ \mathrm{m}=-2,-1,0,1,2 (os cinco 3d).

Passo 5

Exemplos rápidos para fixar e evitar erros na prova:
  • Exemplo inválido: \mathrm{n}=2,\\ \ell=2 é impossível porque \ell deveria ser \le \mathrm{n}-1=1.
  • Exemplo inválido: \ell=1,\\ \mathrm{m}=2 é impossível porque para \ell=1 o máximo de \mathrm{m} é +1.
    Dica prática: sempre cheque primeiro se 0\le\ell\le\mathrm{n}-1; depois cheque -\ell\le\mathrm{m}\le\ell. Se esses dois passam, o conjunto é permitido.

Resposta

Sim. Esse conjunto de números quânticos é permitido e corresponde ao orbital 3s.

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