Responda os seguintes itens das funções dadas abaixo:
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.
 .
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo e identificar a função que vamos analisar. A função dada é:
com o domínio 
 .
Conteúdo da matéria: Vamos trabalhar com cálculo diferencial, focando em derivadas para encontrar pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos máximos e mínimos, concavidade, pontos de inflexão, assíntotas e, por fim, construir o gráfico da função.
O que vamos precisar: Conhecimentos sobre derivadas, interpretação de gráficos, propriedades das funções trigonométricas e lineares.
Passo 2
a) Encontrar o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem
Pontos críticos são onde a derivada da função é zero ou não existe. Vamos encontrar a derivada de 
 :
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
No domínio 
 , 
  é positiva, então:
Portanto, há um ponto crítico em 
 .
Passo 3
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem
Para determinar onde a função está crescendo ou decrescendo, analisamos o sinal da derivada 
 .
Sabemos que:
No domínio 
 , 
  é sempre maior que 1 e aumenta à medida que 
  se aproxima de 
 .
- Quando 
: Função está crescendo.  - Quando 
: Função está decrescendo.  
No ponto crítico 
 :
- Para 
, .  - Para 
, .  
Portanto:
- Crescimento: 
 - Decrescimento: 
 
Passo 4
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem
Usando os resultados do passo anterior:
- A função muda de crescente para decrescente em 
.  
Isso indica um ponto de máximo.
Para encontrar a coordenada 
 , substituímos 
  na função 
 :
Logo, há um ponto máximo em 
 .
Passo 5
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem
Concavidade está relacionada à segunda derivada da função. Vamos encontrar 
 :
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Agora, analisamos o sinal de 
 :
- Quando 
: Concavidade para cima.  - Quando 
: Concavidade para baixo.  
No domínio 
 :
- 
e .  
Portanto, a função é concava para baixo em todo o domínio 
 .
Passo 6
e) Ponto(s) de inflexão, se existirem
Ponto de inflexão ocorre onde a concavidade muda, ou seja, onde 
  ou a segunda derivada não existe.
No nosso caso:
Dentro do domínio 
 , 
  e 
  são sempre positivos, então 
  nunca muda de sinal.
Logo, não há pontos de inflexão na função.
Passo 7
f) Assíntota(s), se existirem
Assíntotas podem ser verticais, horizontais ou oblíquas.
Assíntota Vertical:
A função 
  tem assíntotas verticais em 
 . No nosso domínio 
 , há uma assíntota vertical em 
 .
Assíntota Horizontal:
Vamos verificar o limite de 
  quando 
  tende a 
 :
Sabemos que 
  tende a 
 , então:
Não há assíntota horizontal.
Assíntota Oblíqua:
Verificamos se a função se aproxima a uma reta do tipo 
  quando 
  tende ao infinito ou a algum ponto. No nosso caso, não se aplica no domínio dado.
Portanto, a única assíntota é vertical em 
 .
Passo 8
g) Construir o gráfico
Com todas as informações obtidas:
- Domínio: 
 - Ponto crítico: 
com máximo em  - Intervalo de Crescimento: 
 - Intervalo de Decrescimento: 
 - Concavidade: Para baixo em todo o domínio
 - Assíntota Vertical: 
 
Passos para desenhar o gráfico:
- Desenhe os eixos coordenados.
 - Marque a assíntota vertical em 
.  - Plote o ponto máximo em 
.  - Indique que a função cresce até 
e decresce após esse ponto.  - Mostre que a função é concava para baixo em todo o domínio.
 - Adicione o comportamento próximo à assíntota, onde a função tende a 
conforme se aproxima de .  
Observação: Para um gráfico mais preciso, você pode calcular mais pontos substituindo valores de 
  na função 
 .
Resposta
Após analisar a função 
  no domínio 
 :
- Ponto crítico: 
com um ponto máximo em .  - Intervalos de crescimento: 
.  - Intervalos de decrescimento: 
.  - Concavidade: A função é concava para baixo em todo o domínio.
 - Ponto de inflexão: Não existem pontos de inflexão.
 - Assíntotas: Assíntota vertical em 
.  - Gráfico: Representa uma curva que cresce até 
, atinge um máximo e depois decresce, aproximando-se de conforme se aproxima de , com concavidade para baixo.