Responda os seguintes itens das funções dadas abaixo:
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.
 
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função 
 . O que a gente precisa fazer é encontrar os pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos, concavidade, pontos de inflexão, assíntotas e, por fim, desenhar o gráfico dessa função. Para isso, vamos precisar usar derivadas e entender um pouco sobre o comportamento das funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos. Pontos críticos ocorrem onde a primeira derivada da função é zero ou não existe. Então, vamos calcular a primeira derivada de 
 .
A derivada de 
  em relação a 
  é 
 . Aplicando isso:
Passo 3
Agora, vamos encontrar onde a primeira derivada é zero para identificar os pontos críticos:
Podemos fatorar 
 :
Sabemos que 
  nunca é zero, então a solução vem de:
Então, temos um ponto crítico em 
 .
Passo 4
Vamos agora identificar os intervalos de crescimento e decrescimento utilizando a primeira derivada.
- Se 
, a função está crescendo.  - Se 
, a função está decrescendo.  
Lembrando que encontrarmos 
 , que foi fatorado como 
 .
Vamos analisar os sinais:
- 
Para
: Escolha, por exemplo, .  - 
Para
: Escolha, por exemplo, .  
Passo 5
Com base nos intervalos de crescimento e decrescimento, podemos determinar os pontos máximos e mínimos.
- Em 
, a derivada muda de negativa para positiva, o que indica um mínimo.  
Vamos calcular o valor de 
 :
Então, o mínimo é 
 .
Passo 6
Agora, vamos analisar a concavidade da função usando a segunda derivada. A segunda derivada nos diz se a função está “curvada para cima” ou “para baixo”.
Primeiro, calculamos a segunda derivada:
Vamos encontrar onde 
 :
Como 
 , então:
Passo 7
Determinar os intervalos de concavidade:
- Se 
, a função é côncava para cima.  - Se 
, a função é côncava para baixo.  
Analisando 
 :
- 
Para
: Escolha, por exemplo, .  - 
Para
: Escolha, por exemplo, .  
Passo 8
Encontrar os pontos de inflexão onde a concavidade muda.
A concavidade muda em 
 . Vamos calcular o valor de 
 :
Então, o ponto de inflexão é 
 .
Passo 9
Agora, vamos verificar se existem alguma assíntota.
Para funções exponenciais como 
 , geralmente temos:
- Assíntota horizontal: O limite quando 
tende a .  - Assíntota vertical: Não há, pois 
está definido para todo .  
Calculando o limite de 
  quando 
 :
Então, há uma assíntota horizontal em 
 .
Passo 10
Por fim, vamos construir o gráfico da função 
 .
Resumo das características:
- Domínio: Todos os reais.
 - Ponto crítico: 
com mínimo em .  - Crescimento: Para 
.  - Decrescimento: Para 
.  - Concavidade:
- Para 
: Concava para baixo.  - Para 
: Concava para cima.  
 - Para 
 - Ponto de inflexão: 
.  - Assíntota horizontal: 
.  
Com esses pontos e comportamentos, você pode desenhar o gráfico da função, marcando os pontos críticos, pontos de inflexão, e aproximando-se da assíntota horizontal.
Resposta
A função 
  possui:
a) Ponto crítico em 
 .
b) Cresce para 
  e decresce para 
 .
c) Mínimo em 
 .
d) Concavidade para baixo em 
  e concavidade para cima em 
 .
e) Ponto de inflexão em 
 .
f) Assíntota horizontal em 
 .
g) O gráfico da função se apresenta com as características mencionadas, incluindo o ponto mínimo, ponto de inflexão, e aproxima-se da assíntota horizontal 
 .