Responda os seguintes itens das funções dadas abaixo:
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.
 
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a função 
 . O que a gente vai fazer aqui envolve cálculo, mais especificamente derivadas, para encontrar pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos, concavidade, pontos de inflexão, assíntotas e até esboçar o gráfico. Vamos precisar saber como derivar funções logarítmicas, analisar sinais e entender um pouco sobre concavidade e assíntotas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. A função logarítmica 
  só existe quando 
 . Então, temos:
Resolvendo para 
 :
Então, o domínio da função é 
  entre -2 e 2.
Passo 3
Agora, vamos calcular a primeira derivada para encontrar os pontos críticos. A derivada de 
  é:
Passo 4
Para achar os pontos críticos, igualamos a primeira derivada a zero:
O numerador deve ser zero:
Então, temos um ponto crítico em 
 .
Passo 5
Vamos agora determinar os intervalos de crescimento e decrescimento analisando o sinal da primeira derivada 
 .
- 
Para
: Então, a função está crescente nesse intervalo. - 
Para
: Então, a função está decrescente nesse intervalo. 
Passo 6
Com os intervalos de crescimento e decrescimento, podemos identificar os pontos máximos e mínimos.
Como a função está crescendo antes de 
  e decrescendo depois, 
  é um ponto de máximo.
Calculando 
 :
Então, o ponto máximo é 
 .
Passo 7
Vamos calcular a segunda derivada para analisar a concavidade e encontrar pontos de inflexão.
Primeiro, derivamos 
 :
Passo 8
Para determinar a concavidade, analisamos o sinal da segunda derivada 
 :
O denominador é sempre positivo, então o sinal depende do numerador:
Então, a função é concava para baixo em todo o domínio. Não há intervalos de concavidade para cima.
Passo 9
Como a concavidade não muda, não há pontos de inflexão.
Passo 10
Vamos identificar as assíntotas da função 
 .
As assíntotas verticais ocorrem quando o argumento do logaritmo se aproxima de zero. Então:
Portanto, há assíntotas verticais em 
  e 
 .
Não há assíntotas horizontais, pois o logaritmo tende a infinito conforme se aproxima das assíntotas verticais.
Passo 11
Vamos esboçar o gráfico da função com as informações obtidas:
- Domínio: 
 - Ponto máximo: 
 - Crescente em 
e decrescente em  - Concavidade: concava para baixo em todo o domínio
 - Assíntotas verticais: 
e  
O gráfico ter�� uma forma de “sela” máxima no centro e se aproxima das assíntotas verticais conforme 
  se aproxima de 2 e -2.
Resposta
Os pontos críticos estão em 
 , com um ponto máximo em 
 . A função é crescente no intervalo 
  e decrescente em 
 . A concavidade é para baixo em todo o domínio 
 , não havendo pontos de inflexão. Existem assíntotas verticais em 
  e 
 . O gráfico apresenta uma máxima no centro e se aproxima das assíntotas verticais conforme 
  se afasta de 0 dentro do domínio.