Responda os seguintes itens das funções dadas abaixo:
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.
 
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para analisar a função 
 . Vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas, para encontrar pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos, concavidade, pontos de inflexão, assíntotas e, por fim, construir o gráfico da função. Vamos precisar calcular primeiras e segundas derivadas e entender o comportamento da função com base nelas.
Passo 2
a) Encontrar o(s) ponto(s) crítico(s)
Pontos críticos são onde a primeira derivada da função é zero ou não existe. Vamos calcular a primeira derivada de 
 .
Primeira derivada:
Agora, igualamos 
  a zero:
Isso ocorre quando:
Então, os pontos críticos são 
 , 
  e 
 .
Passo 3
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento
Vamos analisar o sinal da primeira derivada 
  nos intervalos definidos pelos pontos críticos 
 , 
  e 
 .
- 
Intervalo
: 
Escolha: Crescente. - 
Intervalo
: 
Escolha: Crescente. - 
Intervalo
: 
Escolha: Decrescente. - 
Intervalo
: 
Escolha: Decrescente. 
Passo 4
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s)
Vamos usar a análise dos intervalos de crescimento e decrescimento:
- 
Em
: 
A derivada passa de positiva para positiva, então não há máximo ou mínimo. - 
Em
: 
A derivada passa de positiva para negativa, indicando um máximo em.  - 
Em
: 
A derivada passa de negativa para negativa, então não há máximo ou mínimo. 
Passo 5
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo
Para determinar a concavidade, precisamos da segunda derivada 
 .
Calculando a segunda derivada:
Agora, analisamos o sinal de 
 :
- 
Quando
(ou seja, ): 
O termoé positivo. Então, a concavidade depende de: - Para 
: → Concavidade para baixo.  - Para 
: → Concavidade para cima.  
 - Para 
 - 
Quando
(ou seja, ): 
O termoé negativo. Epara , então:  
Passo 6
e) Ponto(s) inflexão
Pontos de inflexão ocorrem onde a concavidade muda, ou seja, onde a segunda derivada muda de sinal.
Analisando 
 :
- Mudança de concavidade em 
e .  
Verificando:
- Em 
: Mudança de concavidade de para baixo para para cima.  - Em 
: A função pode ter pontos de inflexão, mas como é definida para todos os valores reais, esses pontos também são pontos de inflexão.  
Então, os pontos de inflexão são 
  e 
 .
Passo 7
f) Assíntota(s)
Assíntotas são linhas que a função se aproxima mas nunca toca ou cruza. Vamos verificar as possíveis assíntotas da função 
 .
Como a função é um polinômio (pois 
  expande para um polinômio), não possui assíntotas verticais ou horizontais.
Passo 8
g) Construir o gráfico
Com todas as informações obtidas:
- Pontos críticos em 
, , . Máximo em .  - Crescimento em 
e .  - Decrescimento em 
e .  - Concavidade para baixo em 
e , e para cima em .  - Pontos de inflexão em 
e .  - Sem assíntotas.
 
Com esses dados, podemos esboçar o gráfico, identificando os comportamentos nos intervalos e pontos críticos.
Resposta
A função 
  apresenta pontos críticos em 
 , 
  e 
 , com um máximo local em 
 . Cresce nos intervalos 
  e 
 , e decresce em 
  e 
 . Possui concavidade para baixo em 
  e 
 , e para cima em 
 . Os pontos de inflexão estão em 
  e 
 . Não há assíntotas. O gráfico reflete esses comportamentos, com a forma simétrica característica de uma função par elevada a uma potência ímpar.