Responda os seguintes itens das funções dadas abaixo:
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.
 
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício da função 
 . A gente precisa encontrar os pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos, concavidade, pontos de inflexão, assíntotas e, por fim, construir o gráfico dessa função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função 
  para identificar os pontos críticos. A derivada vai nos ajudar a entender onde a função cresce ou decresce.
A função é:
Podemos reescrever 
  como 
 :
Agora, aplicamos a regra do produto para derivar:
Calculando as derivadas:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, que são onde a derivada é zero ou não existe.
- Derivada igual a zero:
 
- Derivada não existe:
A derivada não existe quando o denominador é zero: 
Então, os pontos críticos são 
  e 
 .
Passo 4
Vamos determinar os intervalos onde a função está crescendo ou decrescendo usando a derivada 
 .
Analisamos o sinal da derivada nos intervalos determinados pelos pontos críticos 
  e 
 :
- Para 
:  
- Para 
:  
Passo 5
Identificamos os pontos de máximo e mínimo observando onde a função muda de crescente para decrescente ou vice-versa.
- Em 
, a função muda de decrescente para crescente, indicando um mínimo local.  - Em 
, não há mudança de sinal válida dentro do domínio , então não consideramos como máximo ou mínimo.  
Passo 6
Vamos analisar a concavidade da função, ou seja, se está “para cima” ou “para baixo”. Para isso, precisamos da segunda derivada 
 .
Começamos com 
 . Derivamos novamente:
Aplicamos a regra do quociente:
Simplificando:
Multiplicando numerador e denominador por 
 :
Passo 7
Determinar onde a segunda derivada é positiva ou negativa para definir a concavidade:
Como 
 :
- Concavidade para cima quando 
:  
Como 
 , isso sempre é verdade. Portanto, a função é sempre concava para cima.
- Não há intervalos de concavidade para baixo.
 
Passo 8
Como a concavidade não muda, não há pontos de inflexão na função 
 .
Passo 9
Vamos verificar as assíntotas:
- Assíntota vertical: ocorre se a função tende a infinito em algum ponto do domínio. No nosso caso, quando 
:  
Não há assíntota vertical.
- Assíntota horizontal: verifica o limite quando 
:  
Não há assíntota horizontal.
Passo 10
Finalmente, vamos resumir todas as informações e construir o gráfico da função 
 :
- Pontos críticos: 
e .  - Intervalos de crescimento: 
.  - Intervalos de decrescimento: 
.  - Mínimo local: em 
.  - Concavidade: sempre para cima.
 - Pontos de inflexão: nenhum.
 - Assíntotas: nenhuma.
 
Resposta
a) Pontos críticos: 
  e 
 .
b) Crescimento: 
 ; Decrescimento: 
 .
c) Mínimo local em 
 .
d) Concavidade para cima em todo o domínio 
 ; nenhuma concavidade para baixo.
e) Nenhum ponto de inflexão.
f) Nenhuma assíntota.
g) O gráfico possui um mínimo em 
 , é decrescente de 
  a 
  e crescente a partir de 
 , com concavidade sempre para cima.