Responda os seguintes itens das funções dadas abaixo:
Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
f(x)=2-15 x+9 x^{2}-x^{3}

Passo 1

O enunciado pede os intervalos em que a função
f(x)=2-15x+9x^{2}-x^{3}
é crescente ou decrescente. Para isso, vamos usar o teste da derivada: uma função é crescente onde f'(x)>0 e decrescente onde f'(x)<0.

Passo 2

Calculamos a derivada de f usando as regras de potência:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(2\bigr)-15\frac{d}{dx}(x)+9\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)-\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr) =-15+18x-3x^{2}.

Passo 3

Colocamos f'(x) em forma fatorada para achar os pontos críticos:
f'(x)=-3x^{2}+18x-15=-3\bigl(x^{2}-6x+5\bigr) =-3(x-1)(x-5).
Os zeros de f' são x=1 e x=5.

Passo 4

Estudamos o sinal de f'(x)=-3(x-1)(x-5) nos intervalos determinados por 1 e 5:
  • Para x<1: (x-1)<0 e (x-5)<0 \Rightarrow (x-1)(x-5)>0 \Rightarrow f'(x)=-3\cdot(+)>0? Não, pois -3\cdot(+)<0. Logo f'<0.
  • Para 1<x<5: (x-1)>0 e (x-5)<0 \Rightarrow (x-1)(x-5)<0 \Rightarrow f'(x)>0.
  • Para x>5: (x-1)>0 e (x-5)>0 \Rightarrow (x-1)(x-5)>0 \Rightarrow f'(x)<0.

Passo 5

Com base no sinal de f':
  • f é decrescente onde f'(x)<0.
  • f é crescente onde f'(x)>0.

Resposta

A função é crescente em (1,5) e decrescente em (-\infty,1)\cup(5,\infty).

Exercícios relacionados