Verifique se são convergentes:
Passo 1
O enunciado pede para verificar a convergência da série numérica
O conteúdo envolve séries geométricas e propriedades de soma de séries. Vamos decompor o termo geral em duas partes e analisar cada uma.
Passo 2
Escrevendo o termo geral como soma de duas parcelas, temos
Logo a série se separa em
ambas são séries geométricas com razões
e
, respectivamente.
Passo 3
Para a primeira série, note que
Como
para
, aqui
, então
Multiplicando por
, obtemos
Passo 4
Para a segunda série, que é
, a razão é
e
. Logo
Passo 5
A soma da série original é a soma das duas partes já calculadas:
Como a soma de séries convergentes é convergente, a série dada converge. Além disso, ambas as parcelas são geométricas com razão em módulo menor que 1, o que garante convergência absoluta.
Resposta
A série converge (absolutamente) e seu somatório é
.