Verifique se são convergentes:
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{3+(-1)^{n}}{3^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série numérica
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3+(-1)^{n}}{3^{n}}.
O conteúdo envolve séries geométricas e propriedades de soma de séries. Vamos decompor o termo geral em duas partes e analisar cada uma.

Passo 2

Escrevendo o termo geral como soma de duas parcelas, temos
\frac{3+(-1)^{n}}{3^{n}} = \frac{3}{3^{n}} + \frac{(-1)^{n}}{3^{n}} = 3\cdot 3^{-n} + \bigl(\tfrac{-1}{3}\bigr)^{n}.
Logo a série se separa em
\sum_{n=1}^{\infty}3\cdot 3^{-n} \quad\text{e}\quad \sum_{n=1}^{\infty}\bigl(\tfrac{-1}{3}\bigr)^{n},
ambas são séries geométricas com razões \tfrac{1}{3} e -\tfrac{1}{3}, respectivamente.

Passo 3

Para a primeira série, note que
\sum_{n=1}^{\infty}3\cdot 3^{-n} = 3\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(\tfrac{1}{3}\bigr)^{n}.
Como \sum_{n=1}^{\infty}r^{n} = \dfrac{r}{1-r} para |r|<1, aqui r=\tfrac{1}{3}, então
\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(\tfrac{1}{3}\bigr)^{n} = \frac{\tfrac{1}{3}}{1-\tfrac{1}{3}} = \frac{1/3}{2/3} = \frac{1}{2}.
Multiplicando por 3, obtemos
\sum_{n=1}^{\infty}3\cdot 3^{-n} = 3\cdot\frac{1}{2} = \frac{3}{2}.

Passo 4

Para a segunda série, que é \sum_{n=1}^{\infty}(-1/3)^{n}, a razão é r=-\tfrac{1}{3} e |r|<1. Logo
\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(\tfrac{-1}{3}\bigr)^{n} = \frac{-\tfrac{1}{3}}{1-(-\tfrac{1}{3})} = \frac{-1/3}{4/3} = -\frac{1}{4}.

Passo 5

A soma da série original é a soma das duas partes já calculadas:
\frac{3}{2} + \bigl(-\tfrac{1}{4}\bigr) = \frac{3}{2} - \frac{1}{4} = \frac{6}{4} - \frac{1}{4} = \frac{5}{4}.
Como a soma de séries convergentes é convergente, a série dada converge. Além disso, ambas as parcelas são geométricas com razão em módulo menor que 1, o que garante convergência absoluta.

Resposta

A série converge (absolutamente) e seu somatório é \tfrac{5}{4}.

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