Sabendo que \lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(e^{r x}+3 x\right)^{-10 / x}=e^{-120}, determine r.

Passo 1

O enunciado pede para achar o valor de r tal que
\lim_{x\to0^{+}}\bigl(e^{r x}+3x\bigr)^{-10/x}=e^{-120}.
O conteúdo é limites do tipo 1^\infty. Vamos usar a técnica de reescrever a expressão como \exp\bigl(\lim(\cdots)\bigr) e desenvolver o logaritmo para achar a forma indeterminada.

Passo 2

Definimos
L = \lim_{x\to0^{+}}\bigl(e^{r x}+3x\bigr)^{-10/x}.
Então
L = \exp\!\Bigl(\lim_{x\to0^{+}} \bigl(-\tfrac{10}{x}\bigr)\ln\bigl(e^{r x}+3x\bigr)\Bigr).

Passo 3

Para x pequeno, expandimos
e^{r x} = 1 + r x + o(x),
então
e^{r x}+3x = 1 + (r+3)x + o(x).
Logo, usando \ln(1+u)=u+o(u),
\ln\bigl(e^{r x}+3x\bigr) = (r+3)x + o(x).
Portanto
-\tfrac{10}{x}\,\ln\bigl(e^{r x}+3x\bigr) = -10(r+3) + o(1)
e o limite interno vale -10(r+3). Assim
L = \exp\bigl(-10(r+3)\bigr).

Passo 4

Queremos \exp\bigl(-10(r+3)\bigr)=e^{-120}. Igualando expoentes:
-10(r+3)=-120 \quad\Longrightarrow\quad r+3=12 \quad\Longrightarrow\quad r=9.

Resposta

9

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