Responda as seguintes perguntas:
Considere um elevador sendo erguido por cabos a uma velocidade constante. Qual será o valor total do Trabalho realizado sobre o elevador? Faça uma demostração matemática para sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede o valor total do trabalho realizado sobre o elevador quando ele é erguido por cabos com velocidade constante. As informações dadas (retiradas da figura) são:
  • Nos itens (a) e (b) o elevador tem massa \;m\; e é levantado uma altura vertical \;h\;.
  • No item (c) o elevador tem massa \;2m\; e é levantado a mesma altura vertical \;h\;.
  • Em (a) o caminho é vertical; em (b) e (c) o caminho é por um plano inclinado, mas a elevação vertical final é \;h\;.
  • A velocidade do elevador é constante durante o movimento (portanto a rapidez não muda).
As perguntas implícitas são: qual é o trabalho total (soma dos trabalhos de todas as forças) sobre o elevador em cada caso? E, se for útil, qual o trabalho realizado pela força do cabo e pela gravidade?

Passo 2

Vamos usar a relação básica do teorema trabalho-energia. O teorema diz que o trabalho total realizado por todas as forças sobre um corpo é igual à variação da sua energia cinética:
W_{\text{total}}=\Delta K.
Aqui K é a energia cinética, dada por
K=\tfrac{1}{2} m v^{2},
onde m é a massa do corpo e v a sua velocidade. Como o enunciado diz que a velocidade é constante, a energia cinética não muda durante o deslocamento; portanto
\Delta K=0.
Logo, aplicando o teorema trabalho-energia:
W_{\text{total}}=0.
Isto significa que a soma dos trabalhos de todas as forças atuantes sobre o elevador durante a subida é zero (independente do caminho).

Passo 3

Para entender como isso se distribui entre as forças, calculemos o trabalho da força peso (gravidade), que é um exemplo útil e mostra a independência do caminho. A definição de trabalho para uma força \mathbf{F} é a integral de linha
W=\int_{\mathcal{C}}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r},
onde d\mathbf{r} é um elemento do deslocamento ao longo da trajetória \mathcal{C}.
A força peso é vertical para baixo e vale \mathbf{F}_{g}=-m g\,\hat{\mathbf{j}}, onde g é a aceleração da gravidade e \hat{\mathbf{j}} é o versor vertical para cima. Seja z a coordenada vertical com z=0 na posição inicial e z=h na final; um deslocamento qualquer tem componente vertical dz. Então o trabalho da gravidade é
W_{g}=\int_{z=0}^{z=h}(-m g)\,dz = -m g \int_{0}^{h}dz = -m g h.
Observe que nessa integral usamos apenas a componente vertical do deslocamento, por isso o resultado depende somente da variação vertical h e não do caminho (vertical ou inclinado). Para o caso de massa 2m simplesmente trocamos m por 2m e obtemos
W_{g}=-2m g h.

Passo 4

Agora calculemos (ou deduzamos) o trabalho realizado pela força do cabo (tensão). Há duas maneiras simples de ver isso:
  1. Pelo equilíbrio de forças (aceleração nula): como a velocidade é constante, a soma das forças verticais é zero. Portanto a componente vertical da força do cabo deve igualar o peso em módulo. Para o caso de massa m isso dá tensão efetiva T=m g na direção do deslocamento, e para massa 2m temos T=2m g. O trabalho da força do cabo ao longo do deslocamento que ele faz é então
W_{\text{cabo}}=+m g h
para o caso \;m\;, e
W_{\text{cabo}}=+2m g h
para o caso \;2m\;.
  1. Alternativamente, usando W_{\text{total}}=0 e o valor de W_{g} do passo anterior, temos
W_{\text{cabo}} = -W_{g},
o que dá exatamente os valores acima.
Em todas as formas a razão é a mesma: a força do cabo realiza trabalho positivo igual em módulo ao trabalho negativo da gravidade.

Passo 5

Juntando tudo:
  • O trabalho total (soma dos trabalhos de todas as forças) é zero porque não há variação da energia cinética.
  • O trabalho da gravidade é \;W_{g}=-m g h\; (ou -2m g h quando a massa é 2m).
  • O trabalho realizado pela força do cabo é \;W_{\text{cabo}}=+m g h\; (ou +2m g h quando a massa é 2m).
    Esses resultados não dependem do caminho seguido (reta vertical ou plano inclinado): depende só da elevação vertical \;h\;.

Resposta

(a) Trabalho total W_{\text{total}}=0. Trabalho do cabo W_{\text{cabo}}=+m g h. Trabalho da gravidade W_{g}=-m g h.
(b) Trabalho total W_{\text{total}}=0. Trabalho do cabo W_{\text{cabo}}=+m g h. Trabalho da gravidade W_{g}=-m g h.
(c) Trabalho total W_{\text{total}}=0. Trabalho do cabo W_{\text{cabo}}=+2m g h. Trabalho da gravidade W_{g}=-2m g h.

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