Responda as seguintes perguntas:
Considere um elevador sendo erguido por cabos a uma velocidade constante. Qual será o valor total do Trabalho realizado sobre o elevador? Faça uma demostração matemática para sua resposta.
Considere um elevador sendo erguido por cabos a uma velocidade constante. Qual será o valor total do Trabalho realizado sobre o elevador? Faça uma demostração matemática para sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede o valor total do trabalho realizado sobre o elevador quando ele é erguido por cabos com velocidade constante. As informações dadas (retiradas da figura) são:
- Nos itens (a) e (b) o elevador tem massa
e é levantado uma altura vertical . - No item (c) o elevador tem massa
e é levantado a mesma altura vertical . - Em (a) o caminho é vertical; em (b) e (c) o caminho é por um plano inclinado, mas a elevação vertical final é
. - A velocidade do elevador é constante durante o movimento (portanto a rapidez não muda).
As perguntas implícitas são: qual é o trabalho total (soma dos trabalhos de todas as forças) sobre o elevador em cada caso? E, se for útil, qual o trabalho realizado pela força do cabo e pela gravidade?
Passo 2
Vamos usar a relação básica do teorema trabalho-energia. O teorema diz que o trabalho total realizado por todas as forças sobre um corpo é igual à variação da sua energia cinética:
Aqui
é a energia cinética, dada por
onde
é a massa do corpo e
a sua velocidade. Como o enunciado diz que a velocidade é constante, a energia cinética não muda durante o deslocamento; portanto
Logo, aplicando o teorema trabalho-energia:
Isto significa que a soma dos trabalhos de todas as forças atuantes sobre o elevador durante a subida é zero (independente do caminho).
Passo 3
Para entender como isso se distribui entre as forças, calculemos o trabalho da força peso (gravidade), que é um exemplo útil e mostra a independência do caminho. A definição de trabalho para uma força
é a integral de linha
onde
é um elemento do deslocamento ao longo da trajetória
.
A força peso é vertical para baixo e vale
, onde
é a aceleração da gravidade e
é o versor vertical para cima. Seja
a coordenada vertical com
na posição inicial e
na final; um deslocamento qualquer tem componente vertical
. Então o trabalho da gravidade é
Observe que nessa integral usamos apenas a componente vertical do deslocamento, por isso o resultado depende somente da variação vertical
e não do caminho (vertical ou inclinado). Para o caso de massa
simplesmente trocamos
por
e obtemos
Passo 4
Agora calculemos (ou deduzamos) o trabalho realizado pela força do cabo (tensão). Há duas maneiras simples de ver isso:
- Pelo equilíbrio de forças (aceleração nula): como a velocidade é constante, a soma das forças verticais é zero. Portanto a componente vertical da força do cabo deve igualar o peso em módulo. Para o caso de massa
isso dá tensão efetiva na direção do deslocamento, e para massa temos . O trabalho da força do cabo ao longo do deslocamento que ele faz é então
para o caso
, e
para o caso
.
- Alternativamente, usando
e o valor de do passo anterior, temos
o que dá exatamente os valores acima.
Em todas as formas a razão é a mesma: a força do cabo realiza trabalho positivo igual em módulo ao trabalho negativo da gravidade.
Passo 5
Juntando tudo:
- O trabalho total (soma dos trabalhos de todas as forças) é zero porque não há variação da energia cinética.
- O trabalho da gravidade é
(ou quando a massa é ). - O trabalho realizado pela força do cabo é
(ou quando a massa é ).
Esses resultados não dependem do caminho seguido (reta vertical ou plano inclinado): depende só da elevação vertical.
Resposta
(a) Trabalho total
. Trabalho do cabo
. Trabalho da gravidade
.
(b) Trabalho total
. Trabalho do cabo
. Trabalho da gravidade
.
(c) Trabalho total
. Trabalho do cabo
. Trabalho da gravidade
.