Responda as seguintes perguntas:
No caso acima, do elevador erguido com velocidade constante, quantas forças atuam sobre ele? Qual o sinal matemático do Trabalho realizado por cada uma? Este sinal (de cada Trabalho) pode ser alterado pela escolha do Sistema de Coordenadas?
No caso acima, do elevador erguido com velocidade constante, quantas forças atuam sobre ele? Qual o sinal matemático do Trabalho realizado por cada uma? Este sinal (de cada Trabalho) pode ser alterado pela escolha do Sistema de Coordenadas?
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Dizer quantas forças atuam no elevador quando ele é erguido com velocidade constante.
- Dizer o sinal matemático do trabalho realizado por cada força.
- Responder se esse sinal pode ser alterado pela escolha do sistema de coordenadas.
Informações relevantes dadas (retiradas da figura):
- Em (a) o corpo tem massa
e é levantado verticalmente uma altura . - Em (b) o corpo tem massa
e sobe por uma rampa até ganhar altura vertical . - Em (c) o corpo tem massa
e sobe por uma rampa até ganhar altura vertical . - O movimento ocorre com velocidade constante (portanto aceleração zero).
- Pressupomos ausência de atrito nas rampas, a menos que a figura ou enunciado diga o contrário.
Passo 2
Definição e ideia chave (aula rápida sobre trabalho):
- O trabalho realizado por uma força
ao deslocar um ponto de até é
- O produto escalar
, onde é o ângulo entre a força e o deslocamento infinitesimal. - Se
(mesma direção), então e o trabalho é positivo. - Se
(direção oposta), então e o trabalho é negativo. - Se
, então e o trabalho é nulo.
- Se
- Em muitos problemas com forças constantes ao longo do trajeto, podemos usar
.
Passo 3
Análise do caso vertical (figura (a)): forças e trabalhos
- Forças que atuam no elevador (assumindo sem atrito e cabo ideal):
- Força de tração
do cabo, para cima. - Peso
, para baixo (usei como unidade vertical para cima).
- Força de tração
- Deslocamento do elevador:
(subida de altura ). - Trabalho do peso:
Observação didática: o peso aponta para baixo e o deslocamento é para cima, ângulo
, logo trabalho negativo.
- Trabalho da tração:
pois a tração e o deslocamento têm mesma direção (
), então trabalho positivo em módulo
.
- Como a velocidade é constante, a aceleração é zero, logo a soma das forças é zero:
. - Substituindo, para velocidade constante:
- Verificação (Teorema Trabalho-Energia):
, compatível com energia cinética constante.
Passo 4
Análise dos casos com rampa (figuras (b) e (c)): forças, normal e trabalho
- Força peso:
(igual no sentido físico). - Força normal
: perpendicular à superfície da rampa. - Força aplicada/tração ao longo da rampa que puxa o corpo para cima (vou chamar
). - Deslocamento ao longo da rampa tem componente vertical
(isso aparece na figura: o ponto final está a uma altura acima). - Trabalho da normal:
- A normal é perpendicular ao deslocamento ao longo da rampa, logo o ângulo é
e
- A normal é perpendicular ao deslocamento ao longo da rampa, logo o ângulo é
- Trabalho do peso:
- O trabalho do peso depende só da variação vertical, independentemente do caminho. Assim, para subida que eleva o corpo de
,
(em (c) onde a massa é , fica .) - O trabalho do peso depende só da variação vertical, independentemente do caminho. Assim, para subida que eleva o corpo de
- Trabalho da força aplicada (ou tração ao longo da rampa):
- Com velocidade constante, a soma dos trabalhos deve ser zero:
- Como
, obtemos em (b) (massa ):
- Em (c) (massa
):
- Resumo prático: o peso faz sempre trabalho negativo igual a
(ou ), a normal faz trabalho zero, e a força que levanta faz trabalho positivo igual em módulo ao do peso, para velocidade constante.
Passo 5
Posso alterar o sinal do trabalho escolhendo outro sistema de coordenadas?
- Conceito importante: o trabalho é definido pelo produto escalar
. É uma quantidade física (escalar) e seu valor (incluindo o sinal) é independente da escolha do sistema de coordenadas desde que você trabalhe corretamente com vetores. - O que muda com a escolha de eixos é a representação numérica das componentes de
e . Se você trocar a convenção (por exemplo, tomar para baixo como ), então as componentes de e mudam de sinal de forma consistente, e o produto escalar final permanece o mesmo. Portanto: - Não — o sinal físico do trabalho não muda por trocar o sistema de coordenadas, contanto que se mantenha coerência ao calcular
e . - O único modo de “mudar o sinal” é cometer um erro de sinal ao aplicar a convenção (inconsistência). Mas fisicamente, trabalho positivo/negativo é determinado pelo ângulo entre força e deslocamento (mesma/oposta/ortogonal), e isso não depende do sistema de coordenadas.
- Não — o sinal físico do trabalho não muda por trocar o sistema de coordenadas, contanto que se mantenha coerência ao calcular
Resposta
Duas forças que realizam trabalho no elevador vertical: a tração
(para cima) e o peso
.
e
.
No caso da rampa (massa
):
,
,
.
No caso da rampa (massa ):
,
,
.
No caso da rampa (massa
O sinal do trabalho não pode ser alterado por mudança de sistema de coordenadas se os vetores e deslocamentos forem tratados consistentemente; o sinal é fixado pelo ângulo entre força e deslocamento.