Responda as seguintes perguntas:
No caso acima, do elevador erguido com velocidade constante, quantas forças atuam sobre ele? Qual o sinal matemático do Trabalho realizado por cada uma? Este sinal (de cada Trabalho) pode ser alterado pela escolha do Sistema de Coordenadas?

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Dizer quantas forças atuam no elevador quando ele é erguido com velocidade constante.
  • Dizer o sinal matemático do trabalho realizado por cada força.
  • Responder se esse sinal pode ser alterado pela escolha do sistema de coordenadas.
Informações relevantes dadas (retiradas da figura):
  • Em (a) o corpo tem massa m e é levantado verticalmente uma altura h.
  • Em (b) o corpo tem massa m e sobe por uma rampa até ganhar altura vertical h.
  • Em (c) o corpo tem massa 2m e sobe por uma rampa até ganhar altura vertical h.
  • O movimento ocorre com velocidade constante (portanto aceleração zero).
  • Pressupomos ausência de atrito nas rampas, a menos que a figura ou enunciado diga o contrário.

Passo 2

Definição e ideia chave (aula rápida sobre trabalho):
  • O trabalho realizado por uma força \vec F ao deslocar um ponto de \vec r_i até \vec r_f é
W=\int_{\vec r_i}^{\vec r_f}\vec F\cdot d\vec r.
  • O produto escalar \vec F\cdot d\vec r = F\,dr\cos\theta, onde \theta é o ângulo entre a força e o deslocamento infinitesimal.
    • Se \theta=0^\circ (mesma direção), então \cos\theta=1 e o trabalho é positivo.
    • Se \theta=180^\circ (direção oposta), então \cos\theta=-1 e o trabalho é negativo.
    • Se \theta=90^\circ, então \cos\theta=0 e o trabalho é nulo.
  • Em muitos problemas com forças constantes ao longo do trajeto, podemos usar W=\vec F\cdot\Delta\vec r.

Passo 3

Análise do caso vertical (figura (a)): forças e trabalhos
  • Forças que atuam no elevador (assumindo sem atrito e cabo ideal):
    • Força de tração \vec T do cabo, para cima.
    • Peso \vec P = -m g\,\hat{y}, para baixo (usei \hat{y} como unidade vertical para cima).
  • Deslocamento do elevador: \Delta\vec r = h\,\hat{y} (subida de altura h).
  • Trabalho do peso:
W_P=\vec P\cdot\Delta\vec r = (-m g\,\hat{y})\cdot(h\,\hat{y})=-m g h.
Observação didática: o peso aponta para baixo e o deslocamento é para cima, ângulo 180^\circ, logo trabalho negativo.
  • Trabalho da tração:
W_T=\vec T\cdot\Delta\vec r = T\,(h),
pois a tração e o deslocamento têm mesma direção ( \theta=0^\circ), então trabalho positivo em módulo T h.
  • Como a velocidade é constante, a aceleração é zero, logo a soma das forças é zero: T-mg=0\Rightarrow T=mg.
  • Substituindo, para velocidade constante:
W_T = T h = m g h,\qquad W_P = -m g h.
  • Verificação (Teorema Trabalho-Energia): W_{\text{total}}=W_T+W_P=mg h - mg h =0, compatível com energia cinética constante.

Passo 4

Análise dos casos com rampa (figuras (b) e (c)): forças, normal e trabalho
  • Força peso: \vec P=-m g\,\hat{y} (igual no sentido físico).
  • Força normal \vec N: perpendicular à superfície da rampa.
  • Força aplicada/tração ao longo da rampa que puxa o corpo para cima (vou chamar \vec F_{\text{ap}}).
  • Deslocamento ao longo da rampa tem componente vertical \Delta y = h (isso aparece na figura: o ponto final está a uma altura h acima).
  • Trabalho da normal:
    • A normal é perpendicular ao deslocamento ao longo da rampa, logo o ângulo é 90^\circ e
    W_N=0.
  • Trabalho do peso:
    • O trabalho do peso depende só da variação vertical, independentemente do caminho. Assim, para subida que eleva o corpo de h,
    W_P=-m g h.(em (c) onde a massa é 2m, fica W_P=-2 m g h.)
  • Trabalho da força aplicada (ou tração ao longo da rampa):
    • Com velocidade constante, a soma dos trabalhos deve ser zero:
    W_{\text{ap}}+W_P+W_N=0 \Rightarrow W_{\text{ap}}=-W_P.
    • Como W_N=0, obtemos em (b) (massa m):
    W_{\text{ap}}=+m g h.
    • Em (c) (massa 2m):
    W_{\text{ap}}=+2 m g h.
  • Resumo prático: o peso faz sempre trabalho negativo igual a -m g h (ou -2 m g h), a normal faz trabalho zero, e a força que levanta faz trabalho positivo igual em módulo ao do peso, para velocidade constante.

Passo 5

Posso alterar o sinal do trabalho escolhendo outro sistema de coordenadas?
  • Conceito importante: o trabalho é definido pelo produto escalar \vec F\cdot\Delta\vec r. É uma quantidade física (escalar) e seu valor (incluindo o sinal) é independente da escolha do sistema de coordenadas desde que você trabalhe corretamente com vetores.
  • O que muda com a escolha de eixos é a representação numérica das componentes de \vec F e \Delta\vec r. Se você trocar a convenção (por exemplo, tomar para baixo como +\hat{y}), então as componentes de \vec F e \Delta\vec r mudam de sinal de forma consistente, e o produto escalar final permanece o mesmo. Portanto:
    • Não — o sinal físico do trabalho não muda por trocar o sistema de coordenadas, contanto que se mantenha coerência ao calcular \vec F e \Delta\vec r.
    • O único modo de “mudar o sinal” é cometer um erro de sinal ao aplicar a convenção (inconsistência). Mas fisicamente, trabalho positivo/negativo é determinado pelo ângulo entre força e deslocamento (mesma/oposta/ortogonal), e isso não depende do sistema de coordenadas.

Resposta

Duas forças que realizam trabalho no elevador vertical: a tração T (para cima) e o peso P=-m g.
W_T=+m g h e W_P=-m g h.
No caso da rampa (massa m): W_{\text{ap}}=+m g h, W_P=-m g h, W_N=0.
No caso da rampa (massa 2m): W_{\text{ap}}=+2 m g h, W_P=-2 m g h, W_N=0.
O sinal do trabalho não pode ser alterado por mudança de sistema de coordenadas se os vetores e deslocamentos forem tratados consistentemente; o sinal é fixado pelo ângulo entre força e deslocamento.

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