Responda as seguintes questões:
Determine se as sequências são convergentes ou divergentes
f(n)=\frac{n+1}{2 n-1}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da sequência
a_n = \frac{n + 1}{2\,n - 1}.
O conteúdo aqui é limite de sequência racional, e vamos usar o fato de que, para polinômios do mesmo grau, o limite é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau.

Passo 2

Para encontrar
\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n, dividimos numerador e denominador por n, o maior grau:
a_n = \frac{n + 1}{2\,n - 1} = \frac{n\bigl(1 + \tfrac{1}{n}\bigr)}{n\bigl(2 - \tfrac{1}{n}\bigr)} = \frac{1 + \tfrac{1}{n}}{2 - \tfrac{1}{n}}.
À medida que n\to\infty, temos \tfrac{1}{n}\to 0. Logo,
\lim_{n\to\infty}a_n = \frac{1 + 0}{2 - 0} = \tfrac12.
Isso mostra que a sequência converge.

Resposta

A sequência é convergente e
\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{2\,n-1} = \tfrac12.

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