Responda as seguintes questões:
Determine se a série é divergente ou convergente e obtenha uma fórmula para s_{n}.
\sum_{n=1}^{+\infty} \ln \left(\frac{n}{n+1}\right)

Passo 1

O enunciado pede para estudar a série
\sum_{n=1}^{+\infty} \ln\!\Bigl(\frac{n}{n+1}\Bigr)
e verificar se ela converge ou diverge, além de obter uma fórmula fechada para a soma parcial
s_{n}=\sum_{k=1}^{n}\ln\!\Bigl(\frac{k}{k+1}\Bigr).
O conteúdo principal aqui é o uso da propriedade de logaritmos que transforma soma em produto e o telescoping (cancelamento em somas de termos consecutivos).

Passo 2

Escrevemos cada termo como diferença de logaritmos:
\ln\!\Bigl(\frac{k}{k+1}\Bigr) =\ln k-\ln(k+1).
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s_{n} =\sum_{k=1}^{n}\bigl(\ln k-\ln(k+1)\bigr) =(\ln1-\ln2)+(\ln2-\ln3)+\cdots+(\ln n-\ln(n+1)).
Ao somar, tudo cancela, restando
s_{n}=\ln1-\ln(n+1)=-\ln(n+1).

Passo 3

Para ver se a série converge, analisamos
\lim_{n\to\infty}s_{n} =\lim_{n\to\infty}\bigl(-\ln(n+1)\bigr)=-\infty.
Como a soma parcial tende a -\infty, a série não se aproxima de um valor finito, ou seja, diverge.

Resposta

A soma parcial é
s_{n}=-\ln(n+1)
e a série diverge (vai para -\infty).

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