Responda as seguintes questões.
Como são calculadas as Convoluções contínuas e discretas; e como estas operações são usadas em sinais e sistemas?

Passo 1

O enunciado pergunta como calcular as convoluções contínua e discreta, e como essas operações são usadas em sinais e sistemas. O conteúdo envolve a definição de convolução, sua interpretação geométrica (flip‐and‐shift) e seu papel fundamental em sistemas lineares invariantes no tempo (LTI). Para resolver, vamos precisar conhecer a fórmula de cada tipo de convolução, o procedimento de “inverter e deslocar” um dos sinais, e compreender que, em sistemas LTI, a saída é a convolução da entrada com a resposta ao impulso.

Passo 2

A convolução contínua de dois sinais x(t) e h(t) é definida por
y(t) = (x * h)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)\,h(t - \tau)\,\mathrm{d}\tau.
Para calcular na prática, siga estes passos: primeiro desenhe h(-\tau) (isto é, inverta h em torno de \tau=0); depois desloque para a direita em t obtendo h(t-\tau); multiplique ponto a ponto x(\tau) por h(t-\tau); por fim, integre em \tau de -\infty a +\infty. Em muitos casos, ambas as funções têm suporte finito, e os limites da integral se reduzem ao intervalo onde ambas são não‐nulas.

Passo 3

A convolução discreta de duas sequências x[n] e h[n] é análoga, mas usa soma em vez de integral:
y[n] = (x * h)[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k]\,h[n - k].
O cálculo segue o mesmo princípio de flip‐and‐shift: inverta h[k] para obter h[-k], desloque em n formando h[n-k], multiplique ponto a ponto por x[k] e some sobre k. Quando x e h têm suporte finito, a soma se restringe aos valores de k em que ambos forem não‐nulos.

Passo 4

Em teoria de sinais e sistemas LTI, a saída y de um sistema cuja resposta ao impulso é h e cuja entrada é x é exatamente a convolução y = x * h. Isso permite calcular respostas a sinais arbitrários conhecendo apenas a resposta ao impulso. Em aplicações práticas, a convolução contínua modela filtragem analógica (por exemplo, resposta de um circuito RC) e a convolução discreta é usada em processamento digital de sinais (filtros FIR/IIR). Além disso, propriedades como comutatividade, associatividade e deslocamento facilitam projeto e análise de filtros, e a convolução implementa operações como suavização, detecção de bordas em imagens e correlação cruzada.

Resposta

A convolução contínua é
y(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)\,h(t - \tau)\,\mathrm{d}\tau,
calculada invertendo e deslocando h, multiplicando por x e integrando. A convolução discreta é
y[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k]\,h[n - k],
calculada invertendo e deslocando h, multiplicando por x e somando. Em sinais e sistemas LTI, a saída de um sistema é dada pela convolução da entrada com a resposta ao impulso, o que fundamenta o projeto e a implementação de filtros analógicos e digitais.

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