Responda as seguintes questões.
Como são calculadas as Convoluções contínuas e discretas; e como estas operações são usadas em sinais e sistemas?
Como são calculadas as Convoluções contínuas e discretas; e como estas operações são usadas em sinais e sistemas?
Passo 1
O enunciado pergunta como calcular as convoluções contínua e discreta, e como essas operações são usadas em sinais e sistemas. O conteúdo envolve a definição de convolução, sua interpretação geométrica (flip‐and‐shift) e seu papel fundamental em sistemas lineares invariantes no tempo (LTI). Para resolver, vamos precisar conhecer a fórmula de cada tipo de convolução, o procedimento de “inverter e deslocar” um dos sinais, e compreender que, em sistemas LTI, a saída é a convolução da entrada com a resposta ao impulso.
Passo 2
A convolução contínua de dois sinais
e
é definida por
Para calcular na prática, siga estes passos: primeiro desenhe
(isto é, inverta
em torno de
); depois desloque para a direita em
obtendo
; multiplique ponto a ponto
por
; por fim, integre em
de
a
. Em muitos casos, ambas as funções têm suporte finito, e os limites da integral se reduzem ao intervalo onde ambas são não‐nulas.
Passo 3
A convolução discreta de duas sequências
e
é análoga, mas usa soma em vez de integral:
O cálculo segue o mesmo princípio de flip‐and‐shift: inverta
para obter
, desloque em
formando
, multiplique ponto a ponto por
e some sobre
. Quando
e
têm suporte finito, a soma se restringe aos valores de
em que ambos forem não‐nulos.
Passo 4
Em teoria de sinais e sistemas LTI, a saída
de um sistema cuja resposta ao impulso é
e cuja entrada é
é exatamente a convolução
. Isso permite calcular respostas a sinais arbitrários conhecendo apenas a resposta ao impulso. Em aplicações práticas, a convolução contínua modela filtragem analógica (por exemplo, resposta de um circuito RC) e a convolução discreta é usada em processamento digital de sinais (filtros FIR/IIR). Além disso, propriedades como comutatividade, associatividade e deslocamento facilitam projeto e análise de filtros, e a convolução implementa operações como suavização, detecção de bordas em imagens e correlação cruzada.
Resposta
A convolução contínua é
calculada invertendo e deslocando
, multiplicando por
e integrando. A convolução discreta é
calculada invertendo e deslocando
, multiplicando por
e somando. Em sinais e sistemas LTI, a saída de um sistema é dada pela convolução da entrada com a resposta ao impulso, o que fundamenta o projeto e a implementação de filtros analógicos e digitais.