Responda às seguintes questões em folha fornecida pelo professor.
4- (2,5) Calcular a capacitância de um capacitor cilindrico de comprimento L formado por dois cilindros coaxiais de raios a e b.

Passo 1

O enunciado dá um capacitor cilíndrico formado por dois cilindros coaxiais de mesmo comprimento L, raio interno a e raio externo b. O objetivo é calcular a capacitância do conjunto. Informações e convenções que vou usar (todas retiradas do enunciado ou necessárias para resolver o problema):
  • Raios: a (raio do cilindro interno) e b (raio do cilindro externo), com b>a.
  • Comprimento: L.
  • Assume-se que as extremidades são desprezíveis (isto é, L é muito maior que a e b, para ignorar efeitos de ponta).
  • Pergunta: achar a capacitância C entre os dois cilindros (valor absoluto da carga dividida pela diferença de potencial).
    Não há outras informações no enunciado (por exemplo, presença de dielétrico), então vou inicialmente calcular para espaço livre (vácuo) com permitividade \varepsilon_0. Mais adiante mostro a forma geral se houver um dielétrico com permitividade \varepsilon.

Passo 2

Definição de capacitância e introdução da carga linear:
  • Capacitância é definida por C=\dfrac{Q}{V}, onde Q é a carga de um condutor e V é a diferença de potencial entre condutores.
  • Para cilindros longos é conveniente usar densidade linear de carga \lambda, definida por \lambda=\dfrac{Q}{L}. Assim Q=\lambda L.
    Vou encontrar a diferença de potencial entre os cilindros em função de \lambda e depois usar C=\dfrac{Q}{V}.

Passo 3

Cálculo do campo elétrico entre os cilindros usando a Lei de Gauss:
  • Escolho uma superfície gaussiana cilíndrica coaxial de raio r tal que a<r<b e comprimento L.
  • A Lei de Gauss (no vácuo) diz que o fluxo elétrico total pela superfície é igual à carga encerrada dividida por \varepsilon_0:
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}.
  • O campo tem simetria cilíndrica e é radial; sobre a superfície gaussiana E(r) é constante e as faces das tampas não contribuem (linhas do campo são radiais). A área lateral da superfície é 2\pi r L.
  • A carga encerrada é Q_{\text{enc}}=\lambda L.
    Aplicando Gauss:
E(r)\cdot(2\pi r L)=\frac{\lambda L}{\varepsilon_0}.
Cancelando L e isolando E(r) obtém-se
E(r)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\,r},\qquad a<r<b.
Explicação das variáveis: E(r) é o módulo do campo elétrico a distância radial r do eixo; \lambda é a carga por unidade de comprimento; \varepsilon_0 é a permitividade do vácuo.

Passo 4

Cálculo da diferença de potencial entre os cilindros:
  • Diferença de potencial entre o cilindro interno e o externo é
V\equiv V(a)-V(b)=-\int_{a}^{b}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{r}.
  • Como \mathbf{E} é radial e d\mathbf{r} radial, o produto escalar é E(r)\,dr com sinal adequado. Usando o módulo do campo e tomando a convenção de potencial decrescendo com o afastamento se necessário, o valor absoluto da diferença de potencial é
V=\int_{a}^{b}E(r)\,dr.
  • Substituindo E(r) achado no passo anterior:
V=\int_{a}^{b}\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\,r}\,dr.
  • Integrando:
V=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\int_{a}^{b}\frac{1}{r}\,dr =\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\left[\ln r\right]_{a}^{b} =\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\!\left(\frac{b}{a}\right).
Aqui \ln é o logaritmo natural.

Passo 5

Expressão da capacitância:
  • Usando Q=\lambda L e C=\dfrac{Q}{V}:
C=\frac{\lambda L}{V} =\frac{\lambda L}{\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\!\left(\dfrac{b}{a}\right)}
  • Cancelando \lambda e simplificando:
C=\frac{2\pi\varepsilon_0 L}{\ln\!\left(\dfrac{b}{a}\right)}.
Verificação dimensional rápida: \varepsilon_0 tem unidades de \mathrm{F/m}, multiplicando por L dá Farad; o logaritmo é adimensional. Então C tem unidade de Farad, coerente.

Passo 6

Observações finais e generalização:
  • A expressão acima foi obtida supondo vácuo entre os cilindros. Se houver um dielétrico homogêneo entre os cilindros com permitividade \varepsilon (onde \varepsilon=\kappa\varepsilon_0, \kappa sendo a constante dielétrica), basta substituir \varepsilon_0 por \varepsilon:
C=\frac{2\pi\varepsilon L}{\ln\!\left(\dfrac{b}{a}\right)}.
  • Importante: a fórmula é válida quando L é grande comparado a a,b de modo que efeitos de borda sejam desprezíveis.

Resposta

C=\frac{2\pi\varepsilon_0 L}{\ln\!\left(\dfrac{b}{a}\right)}.

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