Você está em pé na plataforma de uma estação de trem observando um trem passar em alta velocidade. Uma luz dentro de um dos vagões é acesa e pouco depois apagada.
(c) Quem pode medir o comprimento próprio de uma placa pregada em um poste na plataforma da estação, você ou um passageiro no trem?

Passo 1

Vou esclarecer exatamente o que o enunciado dá e o que pergunta.
  • Dado: há uma placa pregada num poste que está fixa à plataforma da estação. Você está parado na plataforma (logo, em repouso relativo à placa). Um trem passa em alta velocidade; um passageiro está no trem (portanto em movimento relativo à plataforma/placa).
  • Pergunta: quem pode medir o comprimento próprio da placa — você (na plataforma) ou o passageiro no trem?

Passo 2

Primeiro, o que é “comprimento próprio”?
  • O comprimento próprio de um objeto é o comprimento medido no referencial onde o objeto está em repouso. Ou seja, é a distância entre as extremidades medida por um observador fixo ao objeto.
  • Formalmente: se em um referencial \mathcal{S} as posições das duas extremidades são x_1 e x_2 medidas ao mesmo tempo \Delta t=0 em \mathcal{S}, então o comprimento próprio é \Delta x = x_2-x_1 = L_0. Aqui \Delta t=0 significa que as duas medições de posição foram feitas simultaneamente naquele referencial.

Passo 3

Como se mede, na prática, o comprimento próprio (no caso da placa na plataforma)?
  • Método direto: usar uma régua fixa à placa ou medir as posições das extremidades com marcadores que são lidos ao mesmo instante por relógios sincronizados no referencial da plataforma.
  • O ponto essencial é: as duas leituras das posições das extremidades devem ser feitas simultaneamente no referencial da placa (ou seja, na plataforma). Isso garante que a diferença de posições dá exatamente L_0.

Passo 4

E o que o passageiro no trem mediria? (introduzindo contração relativística)
  • Para um observador que vê a placa movendo-se com velocidade v, o comprimento medido L é menor que o comprimento próprio L_0. A relação é a contração de Lorentz:
L=\frac{L_0}{\gamma}, \qquad \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}},
onde c é a velocidade da luz e v é a velocidade relativa entre trem e plataforma.
  • Aqui: L_0 é o comprimento próprio (medido na plataforma), e L é o comprimento medido pelo passageiro no trem. Assim, o passageiro mede um comprimento contraído, não o comprimento próprio.

Passo 5

Por que o passageiro não pode medir o comprimento próprio? (explicação com transformações de Lorentz e simultaneidade)
  • A medição do comprimento exige registrar as posições das duas extremidades “ao mesmo tempo” no referencial do observador. A simultaneidade é relativa: dois eventos simultâneos num referencial não são, em geral, simultâneos em outro.
  • As transformações de tempo entre dois referenciais em movimento relativo mostram isso. Para dois eventos separados por \Delta x e \Delta t em um referencial, o tempo no outro é
\Delta t'=\gamma\!\left(\Delta t-\frac{v\,\Delta x}{c^2}\right).
Se em \mathcal{S} (a plataforma) as medidas das duas extremidades foram feitas simultaneamente, então \Delta t=0 e
\Delta t'=-\gamma\frac{v\,\Delta x}{c^2}\neq 0
(em geral). Ou seja, essas duas leituras simultâneas na plataforma NÃO são simultâneas no trem; portanto o passageiro não pode reproduzir essa medição simultânea no seu referencial e, por isso, não mede o comprimento próprio. Ele medirá as posições das extremidades em dois instantes simultâneos em seu próprio referencial e obterá L=L_0/\gamma.

Passo 6

Resumo intuitivo e conclusão (do jeito amigo e direto):
  • Comprimento próprio = comprimento medido no referencial onde o objeto está em repouso (é como medir com uma régua colada ao objeto).
  • No problema: a placa está em repouso na plataforma, então quem está na plataforma (você) pode medir o comprimento próprio.
  • O passageiro no trem está em movimento relativo à placa e medirá um comprimento menor (contraído); portanto ele não mede o comprimento próprio.

Resposta

Você, o observador na plataforma.

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