Você está em pé na plataforma de uma estação de trem observando um trem passar em alta velocidade. Uma luz dentro de um dos vagões é acesa e pouco depois apagada.
(c) Quem pode medir o comprimento próprio de uma placa pregada em um poste na plataforma da estação, você ou um passageiro no trem?
(c) Quem pode medir o comprimento próprio de uma placa pregada em um poste na plataforma da estação, você ou um passageiro no trem?
Passo 1
Vou esclarecer exatamente o que o enunciado dá e o que pergunta.
- Dado: há uma placa pregada num poste que está fixa à plataforma da estação. Você está parado na plataforma (logo, em repouso relativo à placa). Um trem passa em alta velocidade; um passageiro está no trem (portanto em movimento relativo à plataforma/placa).
- Pergunta: quem pode medir o comprimento próprio da placa — você (na plataforma) ou o passageiro no trem?
Passo 2
Primeiro, o que é “comprimento próprio”?
- O comprimento próprio de um objeto é o comprimento medido no referencial onde o objeto está em repouso. Ou seja, é a distância entre as extremidades medida por um observador fixo ao objeto.
- Formalmente: se em um referencial
as posições das duas extremidades são e medidas ao mesmo tempo em , então o comprimento próprio é . Aqui significa que as duas medições de posição foram feitas simultaneamente naquele referencial.
Passo 3
Como se mede, na prática, o comprimento próprio (no caso da placa na plataforma)?
- Método direto: usar uma régua fixa à placa ou medir as posições das extremidades com marcadores que são lidos ao mesmo instante por relógios sincronizados no referencial da plataforma.
- O ponto essencial é: as duas leituras das posições das extremidades devem ser feitas simultaneamente no referencial da placa (ou seja, na plataforma). Isso garante que a diferença de posições dá exatamente
.
Passo 4
E o que o passageiro no trem mediria? (introduzindo contração relativística)
- Para um observador que vê a placa movendo-se com velocidade
, o comprimento medido é menor que o comprimento próprio . A relação é a contração de Lorentz:
onde
é a velocidade da luz e
é a velocidade relativa entre trem e plataforma.
- Aqui:
é o comprimento próprio (medido na plataforma), e é o comprimento medido pelo passageiro no trem. Assim, o passageiro mede um comprimento contraído, não o comprimento próprio.
Passo 5
Por que o passageiro não pode medir o comprimento próprio? (explicação com transformações de Lorentz e simultaneidade)
- A medição do comprimento exige registrar as posições das duas extremidades “ao mesmo tempo” no referencial do observador. A simultaneidade é relativa: dois eventos simultâneos num referencial não são, em geral, simultâneos em outro.
- As transformações de tempo entre dois referenciais em movimento relativo mostram isso. Para dois eventos separados por
e em um referencial, o tempo no outro é
Se em
(a plataforma) as medidas das duas extremidades foram feitas simultaneamente, então
e
(em geral). Ou seja, essas duas leituras simultâneas na plataforma NÃO são simultâneas no trem; portanto o passageiro não pode reproduzir essa medição simultânea no seu referencial e, por isso, não mede o comprimento próprio. Ele medirá as posições das extremidades em dois instantes simultâneos em seu próprio referencial e obterá
.
Passo 6
Resumo intuitivo e conclusão (do jeito amigo e direto):
- Comprimento próprio = comprimento medido no referencial onde o objeto está em repouso (é como medir com uma régua colada ao objeto).
- No problema: a placa está em repouso na plataforma, então quem está na plataforma (você) pode medir o comprimento próprio.
- O passageiro no trem está em movimento relativo à placa e medirá um comprimento menor (contraído); portanto ele não mede o comprimento próprio.
Resposta
Você, o observador na plataforma.