Você está em pé na plataforma de uma estação de trem observando um trem passar em alta velocidade. Uma luz dentro de um dos vagões é acesa e pouco depois apagada.
(b) Quem pode medir o comprimento próprio do vagão, você ou um passageiro no trem?

Passo 1

O que o enunciado pergunta e o que ele dá:
  • Pergunta: quem pode medir o comprimento próprio do vagão — eu (estando parado na plataforma) ou um passageiro no trem?
  • Informações do enunciado: estou na plataforma vendo um trem passar em alta velocidade; há uma luz acesa dentro de um vagão que apaga depois (isso só indica que algo acontece dentro do trem, mas não altera a pergunta sobre comprimento).
  • Objetivo aqui: entender o que é “comprimento próprio” e qual observador está no referencial adequado para medi-lo.

Passo 2

Definição didática de comprimento próprio:
  • Comprimento próprio (ou comprimento de repouso) é o comprimento medido no referencial em que o objeto está em repouso. Vou chamar esse comprimento de L_0.
  • Em palavras simples: é o comprimento que a própria coisa “tem” quando não está se movendo em relação ao observador que mede.

Passo 3

Como se mede comprimento em relatividade (regra prática para prova):
  • Em qualquer referencial, para medir o comprimento de um objeto rígido, o observador precisa registrar as posições das duas extremidades do objeto ao mesmo tempo segundo os relógios desse observador.
  • Em notação: se num referencial S as posições da traseira e da dianteira do vagão, medidas simultaneamente em S (ou seja, em t_1=t_2=t), são x_1 e x_2, então o comprimento medido em S é
L = x_2 - x_1.
  • Importante: “ao mesmo tempo” depende do referencial — a simultaneidade é relativa.

Passo 4

Fórmulas essenciais (transformações de Lorentz) e explicação das variáveis:
  • Considere dois referenciais: S (plataforma) e S' (trem). O trem se move a velocidade v em relação à plataforma. A velocidade da luz é \,c.
  • O fator de Lorentz é
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}}.
  • As transformações que ligam coordenadas espaciais e temporais (uma forma útil) são
x' = \gamma (x - v t),\qquad t' = \gamma\!\left(t - \dfrac{v x}{c^2}\right),
onde (x,t) são coordenadas em S e (x',t') em S'.

Passo 5

Derivação didática da contração de comprimento (passo a passo, sem pular):
  • No referencial do trem S' o vagão está em repouso; portanto as coordenadas das extremidades não mudam com o tempo em S'. Se a traseira tem coordenada x'_1 e a dianteira x'_2, o comprimento próprio é
L_0 = x'_2 - x'_1.
  • Agora considere duas medições feitas simultaneamente na plataforma S: eventos “traseira em x_1 no tempo t” e “dianteira em x_2 no mesmo tempo t”. O comprimento medido na plataforma é
L = x_2 - x_1.
  • Transforme as posições desses dois eventos para o referencial do trem usando x' = \gamma(x - v t). Como os dois eventos têm o mesmo t, a diferença das coordenadas primadas é
x'_2 - x'_1 = \gamma (x_2 - x_1) = \gamma L.
  • Mas cuidado: x'_2 - x'_1 é justamente a diferença das coordenadas das extremidades do trem naquele referencial — e como o trem está em repouso em S', essa diferença é sempre L_0. Logo
L_0 = \gamma L.
  • Reorganizando,
L = \frac{L_0}{\gamma}.
  • Interpretação: quem observa o vagão em movimento (a plataforma) mede um comprimento L menor do que o comprimento próprio L_0. Esse efeito é a contração de Lorentz.

Passo 6

Conclusão física aplicada ao enunciado (explicação clara do porquê):
  • O comprimento próprio é medido no referencial em que o objeto está parado. O passageiro do trem está no mesmo referencial que o vagão (vagão em repouso relativo ao passageiro), portanto ele pode medir diretamente o comprimento próprio L_0 — por exemplo, usando uma fita métrica a bordo ou marcando as extremidades com um instrumento que esteja em repouso relativo ao vagão.
  • Eu, na plataforma, vejo o vagão movendo-se rápido; qualquer medição que eu faça usando posições simultâneas na plataforma dará o comprimento contraído L = L_0/\gamma, não o comprimento próprio.

Passo 7

Comentários didáticos finais e dica para prova
  • A luz que acende e apaga dentro do vagão não muda quem pode medir o comprimento próprio; pode ser usada para marcar eventos, mas o ponto conceitual é: o comprimento próprio é sempre medido no referencial de repouso do objeto.
  • Dica prática para a prova: ao ver “comprimento próprio” pense imediatamente “referencial onde o objeto está em repouso”. Se o enunciado diz “um passageiro no trem”, isso já indica que ele está no referencial de repouso do vagão.

Resposta

O passageiro no trem.

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