Você está em pé na plataforma de uma estação de trem observando um trem passar em alta velocidade. Uma luz dentro de um dos vagões é acesa e pouco depois apagada.
(b) Quem pode medir o comprimento próprio do vagão, você ou um passageiro no trem?
(b) Quem pode medir o comprimento próprio do vagão, você ou um passageiro no trem?
Passo 1
O que o enunciado pergunta e o que ele dá:
- Pergunta: quem pode medir o comprimento próprio do vagão — eu (estando parado na plataforma) ou um passageiro no trem?
- Informações do enunciado: estou na plataforma vendo um trem passar em alta velocidade; há uma luz acesa dentro de um vagão que apaga depois (isso só indica que algo acontece dentro do trem, mas não altera a pergunta sobre comprimento).
- Objetivo aqui: entender o que é “comprimento próprio” e qual observador está no referencial adequado para medi-lo.
Passo 2
Definição didática de comprimento próprio:
- Comprimento próprio (ou comprimento de repouso) é o comprimento medido no referencial em que o objeto está em repouso. Vou chamar esse comprimento de
. - Em palavras simples: é o comprimento que a própria coisa “tem” quando não está se movendo em relação ao observador que mede.
Passo 3
Como se mede comprimento em relatividade (regra prática para prova):
- Em qualquer referencial, para medir o comprimento de um objeto rígido, o observador precisa registrar as posições das duas extremidades do objeto ao mesmo tempo segundo os relógios desse observador.
- Em notação: se num referencial
as posições da traseira e da dianteira do vagão, medidas simultaneamente em (ou seja, em ), são e , então o comprimento medido em é
- Importante: “ao mesmo tempo” depende do referencial — a simultaneidade é relativa.
Passo 4
Fórmulas essenciais (transformações de Lorentz) e explicação das variáveis:
- Considere dois referenciais:
(plataforma) e (trem). O trem se move a velocidade em relação à plataforma. A velocidade da luz é . - O fator de Lorentz é
- As transformações que ligam coordenadas espaciais e temporais (uma forma útil) são
onde
são coordenadas em
e
em
.
Passo 5
Derivação didática da contração de comprimento (passo a passo, sem pular):
- No referencial do trem
o vagão está em repouso; portanto as coordenadas das extremidades não mudam com o tempo em . Se a traseira tem coordenada e a dianteira , o comprimento próprio é
- Agora considere duas medições feitas simultaneamente na plataforma
: eventos “traseira em no tempo ” e “dianteira em no mesmo tempo ”. O comprimento medido na plataforma é
- Transforme as posições desses dois eventos para o referencial do trem usando
. Como os dois eventos têm o mesmo , a diferença das coordenadas primadas é
- Mas cuidado:
é justamente a diferença das coordenadas das extremidades do trem naquele referencial — e como o trem está em repouso em , essa diferença é sempre . Logo
- Reorganizando,
- Interpretação: quem observa o vagão em movimento (a plataforma) mede um comprimento
menor do que o comprimento próprio . Esse efeito é a contração de Lorentz.
Passo 6
Conclusão física aplicada ao enunciado (explicação clara do porquê):
- O comprimento próprio é medido no referencial em que o objeto está parado. O passageiro do trem está no mesmo referencial que o vagão (vagão em repouso relativo ao passageiro), portanto ele pode medir diretamente o comprimento próprio
— por exemplo, usando uma fita métrica a bordo ou marcando as extremidades com um instrumento que esteja em repouso relativo ao vagão. - Eu, na plataforma, vejo o vagão movendo-se rápido; qualquer medição que eu faça usando posições simultâneas na plataforma dará o comprimento contraído
, não o comprimento próprio.
Passo 7
Comentários didáticos finais e dica para prova
- A luz que acende e apaga dentro do vagão não muda quem pode medir o comprimento próprio; pode ser usada para marcar eventos, mas o ponto conceitual é: o comprimento próprio é sempre medido no referencial de repouso do objeto.
- Dica prática para a prova: ao ver “comprimento próprio” pense imediatamente “referencial onde o objeto está em repouso”. Se o enunciado diz “um passageiro no trem”, isso já indica que ele está no referencial de repouso do vagão.
Resposta
O passageiro no trem.