Analise a curva dada por f(x)=x^2-x1+3 x^2, de acordo com o ponto de máximo e mínimo (se houveram).

Passo 1

Temos a função f(x)=x^2-x1+3x^2. O conteúdo aqui é encontrar extremos locais via derivada e teste de sinais. Vamos usar a regra do quociente para achar f'(x) e depois identificar os pontos críticos.

Passo 2

Aplicando a regra do quociente: derivada do numerador vezes denominador menos numerador vezes derivada do denominador, sobre o quadrado do denominador, obtemos
$$
f’(x)=\frac{(2x-1)(1+3x{2})-(x{2}-x)\cdot6x}{(1+3x{2}){2}} f'(x)=(2x-1)(1+3x^2)-(x^2-x)cdot6x(1+3x^2)^2
(2x-1)(1+3x{2})-6x(x{2}-x)
=2x-1+6x{3}-3x{2}-6x{3}+6x{2}
=3x^{2}+2x-1. (2x-1)(1+3x^2)-6x(x^2-x) =2x-1+6x^3-3x^2-6x^3+6x^2 =3x^2+2x-1
f’(x)=\frac{3x{2}+2x-1}{(1+3x{2})^{2}}.$$

Passo 3

Para encontrar os pontos críticos, solucionamos f'(x)=0, ou seja
$$
3x^{2}+2x-1=0 3x^2+2x-1=0á
x=\frac{-2\pm\sqrt{4+12}}{6}={-1,,\tfrac{1}{3}}.$$

Passo 4

Avaliamoos agora f nesses pontos:
$$
f(-1)=\frac{(-1){2}-(-1)}{1+3(-1){2}}=\frac{2}{4}=\frac12,$$
$$
f\bigl(\tfrac13\bigr)=\frac{\tfrac19-\tfrac13}{1+3\cdot\tfrac{1}{9}}=\frac{-2/9}{4/3}=-\tfrac{1}{6}.$$

Passo 5

Para classificar, observamos o sinal de f'(x): para x<-1, 3x^2+2x-1>0 implica f'>0 (crescente); entre -1 e 1/3, f'<0 (decrescente); para x>1/3, f'>0 (crescente). Logo, x=-1 é ponto de máximo local e x=1/3 é ponto de mínimo local.

Resposta

Máximo local em x=-1 com f(-1)=1/2; mínimo local em x=1/3 com f(1/3)=-1/6.

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