Analise a curva dada por
, de acordo com o ponto de máximo e mínimo (se houveram).
Passo 1
Temos a função
. O conteúdo aqui é encontrar extremos locais via derivada e teste de sinais. Vamos usar a regra do quociente para achar
e depois identificar os pontos críticos.
Passo 2
Aplicando a regra do quociente: derivada do numerador vezes denominador menos numerador vezes derivada do denominador, sobre o quadrado do denominador, obtemos
$$
f’(x)=\frac{(2x-1)(1+3x{2})-(x{2}-x)\cdot6x}{(1+3x{2}){2}}
(2x-1)(1+3x{2})-6x(x{2}-x)
=2x-1+6x{3}-3x{2}-6x{3}+6x{2}
=2x-1+6x{3}-3x{2}-6x{3}+6x{2}
=3x^{2}+2x-1.
f’(x)=\frac{3x{2}+2x-1}{(1+3x{2})^{2}}.$$
Passo 3
Para encontrar os pontos críticos, solucionamos
, ou seja
$$
3x^{2}+2x-1=0
x=\frac{-2\pm\sqrt{4+12}}{6}={-1,,\tfrac{1}{3}}.$$
Passo 4
Avaliamoos agora
nesses pontos:
$$
f(-1)=\frac{(-1){2}-(-1)}{1+3(-1){2}}=\frac{2}{4}=\frac12,$$
$$
f\bigl(\tfrac13\bigr)=\frac{\tfrac19-\tfrac13}{1+3\cdot\tfrac{1}{9}}=\frac{-2/9}{4/3}=-\tfrac{1}{6}.$$
Passo 5
Para classificar, observamos o sinal de
: para
,
implica
(crescente); entre
e
,
(decrescente); para
,
(crescente). Logo,
é ponto de máximo local e
é ponto de mínimo local.
Resposta
Máximo local em x=-1 com f(-1)=1/2; mínimo local em x=1/3 com f(1/3)=-1/6.