Responda as seguintes questões:
(f) y1(x)=e^5 x e y2(x)=e^-3 x são soluções fundamentais da EDO y^prime prime-2 y^prime-15 y=0 ?

Passo 1

Enunciado: verificar se y1(x)=e^5x e y2(x)=e^-3x são soluções fundamentais da EDO y''-2y'-15y=0. O conteúdo é equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e a independência linear via Wronskiano.

Passo 2

Verificar que ambas satisfazem a EDO: calculamos derivadas e substituímos. Para y1 temos
y1'=5e^5x, y1''=25e^5x,
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y1''-2y1'-15y1=(25-10-15)e^5x=0
Para y2 temos
y2'=-3e^-3x, y2''=9e^-3x,
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y2''-2y2'-15y2=(9+6-15)e^-3x=0
Portanto, ambas são soluções da EDO.

Passo 3

Checar independência linear calculando o Wronskiano:
W(y1,y2)=e^5x&e^-3x5e^5x&-3e^-3x=e^5x(-3e^-3x)-5e^5xe^-3x=-8e^2x
Como W(y1,y2)neq0 para todo x, elas são linearmente independentes.

Passo 4

Conclusão: sendo soluções da EDO e linearmente independentes, y1 e y2 formam um conjunto fundamental de soluções.

Resposta

Sim, y1(x)=e^5x e y2(x)=e^-3x formam um conjunto fundamental de soluções da EDO y'' -2y' -15y =0.

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