Responda separadamente para cada uma das situações:
o campo elétrico produzido pela distribuição de carga tem a mesma intensidade em todos os pontos da superfície \mathcal{S} ? Justifique.

Passo 1

Olha, o enunciado apresenta três distribuições de carga e superfícies fechadas \mathcal{S} associadas: (a) um cubo carregado de lado a envolto por um cubo maior de lado L; (b) um fio de comprimento L e carga total Q sobre o eixo de um cilindro de raio R e altura L; (c) uma esfera de raio r com carga Q envolta por uma superfície esférica de raio R. A tarefa é verificar em cada caso se \mathbf{E} tem mesma magnitude em todos os pontos de \mathcal{S} usando simetria e Lei de Gauss.

Passo 2

Para que o campo elétrico tenha a mesma intensidade em todos os pontos de \mathcal{S}, deve existir um grupo de simetria (rotações, translações, reflexões, conforme o caso) que deixe a distribuição de cargas e a superfície invariantes e permita levar qualquer ponto de \mathcal{S} a qualquer outro. Se isso ocorrer, pela invariância, \lvert\mathbf{E}\rvert é constante sobre \mathcal{S}.

Passo 3

Na situação 1 o cubo carregado não está no centro do cubo maior e não há nem simetria esférica nem simetria cúbica completa que troque dois pontos quaisquer da superfície externa sem alterar a distribuição de carga. Logo não existe a invariância necessária e, portanto, \lvert\mathbf{E}\rvert não pode ser igual em todos os pontos de \mathcal{S}.

Passo 4

Na situação 2 o fio é finito. Embora haja simetria de rotação em torno do eixo (logo \lvert\mathbf{E}\rvert não depende do ângulo azimutal), não há simetria de translação ao longo do eixo (para cada posição axial z o entorno do fio é diferente perto das extremidades). Assim \lvert\mathbf{E}\rvert varia com a coordenada z na superfície lateral, e não é constante em \mathcal{S}.

Passo 5

Na situação 3 a esfera carregada e a superfície esférica são concêntricas, ou seja, há simetria esférica completa: para qualquer par de pontos em \mathcal{S} existe rotação sobre o centro que envie um no lugar do outro sem mudar a distribuição de carga. Daí se conclui que \lvert\mathbf{E}\rvert é constante em toda \mathcal{S}.

Resposta

(a) Não.
(b) Não.
(c) Sim.

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