Responda separadamente para cada uma das situações:
Podemos usar a lei de Gauss em conjunto com a superfície
para obter explicitamente uma expressão para o campo elétrico produzido pela distribuição de carga na região externa à distribuição? Justifique.
Podemos usar a lei de Gauss em conjunto com a superfície
Passo 1
O enunciado apresenta três distribuições de carga—em forma de cubo (situação 1), de bastão de comprimento finito (situação 2) e de esfera (situação 3)—cada uma envolvida por uma superfície gaussiana
. A pergunta é se, em cada caso, podemos usar a Lei de Gauss para obter explicitamente o módulo de
na região externa à distribuição. O conteúdo necessário é a condição de simetria das distribuições que permita assumir que
tem a mesma direção e módulo em toda a superfície
.
Passo 2
A Lei de Gauss afirma:
Para resolver explicitamente
a partir dessa expressão, precisamos de duas coisas:
- saber que
é perpendicular (ou tangente) a cada elemento de ; - que o valor de
seja constante em toda .
Isso só ocorre se a configuração carga+apresentar alta simetria (esférica, cilíndrica infinita ou planar infinita).
Passo 3
Situação 1 (cubo de carga dentro de cubo de Gauss):
A distribuição cúbica não possui simetria contínua que deixe imutável o módulo de em todas as faces do cubo gaussiano. Em cada face, a distância e a orientação relativa à distribuição mudam, de modo que
varia ao longo da superfície. Assim, não podemos retirar
da integral de fluxo nem resolver explicitamente
pela Lei de Gauss.
A distribuição cúbica não possui simetria contínua que deixe imutável o módulo de
Passo 4
Situação 2 (bastão de comprimento finito dentro de cilindro de Gauss):
Embora o bastão seja alinhado ao eixo do cilindro, ele é de extensão finita. Nas tampas (bases) do cilindro gaussiano, o campo não é uniformemente perpendicular ao elemento e nem tem módulo constante. Apenas no limite de bastão infinito teríamos perfeita simetria cilíndrica e
dependeria somente do raio. Como aqui o bastão é finito, não podemos usar Gauss para obter
de forma exata.
Embora o bastão seja alinhado ao eixo do cilindro, ele é de extensão finita. Nas tampas (bases) do cilindro gaussiano, o campo não é uniformemente perpendicular ao elemento
Passo 5
Situação 3 (esfera de carga dentro de esfera de Gauss):
A distribuição esférica uniforme tem simetria esférica perfeita. Num casco esférico de raio , o campo elétrico externo é radial e de módulo constante em toda a superfície. Logo,
A distribuição esférica uniforme tem simetria esférica perfeita. Num casco esférico de raio
Aqui sim podemos usar Gauss para obter explicitamente o campo.
Resposta
Situação 1: Não.
Situação 2: Não, pois o bastão é finito.
Situação 3: Sim; resulta em
para
externo à esfera.