Responda separadamente para cada uma das situações:
Podemos usar a lei de Gauss em conjunto com a superfície \mathcal{S} para obter explicitamente uma expressão para o campo elétrico produzido pela distribuição de carga na região externa à distribuição? Justifique.

Passo 1

O enunciado apresenta três distribuições de carga—em forma de cubo (situação 1), de bastão de comprimento finito (situação 2) e de esfera (situação 3)—cada uma envolvida por uma superfície gaussiana \mathcal{S}. A pergunta é se, em cada caso, podemos usar a Lei de Gauss para obter explicitamente o módulo de \mathbf{E} na região externa à distribuição. O conteúdo necessário é a condição de simetria das distribuições que permita assumir que \mathbf{E} tem a mesma direção e módulo em toda a superfície \mathcal{S}.

Passo 2

A Lei de Gauss afirma:
\oint_{\mathcal{S}}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\rm int}}{\varepsilon_0}.
Para resolver explicitamente \mathbf{E} a partir dessa expressão, precisamos de duas coisas:
  1. saber que \mathbf{E} é perpendicular (ou tangente) a cada elemento d\mathbf{A} de \mathcal{S};
  2. que o valor de \lvert \mathbf{E}\rvert seja constante em toda \mathcal{S}.
    Isso só ocorre se a configuração carga+ \mathcal{S} apresentar alta simetria (esférica, cilíndrica infinita ou planar infinita).

Passo 3

Situação 1 (cubo de carga dentro de cubo de Gauss):
A distribuição cúbica não possui simetria contínua que deixe imutável o módulo de \mathbf{E} em todas as faces do cubo gaussiano. Em cada face, a distância e a orientação relativa à distribuição mudam, de modo que \lvert \mathbf{E}\rvert varia ao longo da superfície. Assim, não podemos retirar \lvert \mathbf{E}\rvert da integral de fluxo nem resolver explicitamente \mathbf{E} pela Lei de Gauss.

Passo 4

Situação 2 (bastão de comprimento finito dentro de cilindro de Gauss):
Embora o bastão seja alinhado ao eixo do cilindro, ele é de extensão finita. Nas tampas (bases) do cilindro gaussiano, o campo não é uniformemente perpendicular ao elemento d\mathbf{A} e nem tem módulo constante. Apenas no limite de bastão infinito teríamos perfeita simetria cilíndrica e \lvert \mathbf{E}\rvert dependeria somente do raio. Como aqui o bastão é finito, não podemos usar Gauss para obter \mathbf{E} de forma exata.

Passo 5

Situação 3 (esfera de carga dentro de esfera de Gauss):
A distribuição esférica uniforme tem simetria esférica perfeita. Num casco esférico de raio R, o campo elétrico externo é radial e de módulo constante em toda a superfície. Logo,
E(R)\,4\pi R^2 \;=\;\frac{Q}{\varepsilon_0} \quad\Longrightarrow\quad E(R)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{R^2}.
Aqui sim podemos usar Gauss para obter explicitamente o campo.

Resposta

Situação 1: Não.
Situação 2: Não, pois o bastão é finito.
Situação 3: Sim; resulta em \displaystyle E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r^2} para r externo à esfera.

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