Considere as três situações descritas abaixo:
Situação 1: um cubo isolante de aresta a uniformemente carregado em todo o seu volume com uma carga total Q e uma superfície fechada \mathcal{S}, também cúbica e de aresta L(L>a), concêntrica ao cubo original e com faces paralelas ao mesmo.

Passo 1

O enunciado apresenta três situações diferentes em que temos um objeto carregado (cubo isolante, fio carregado ou esfera carregada) e uma superfície fechada \mathcal{S} que envolve totalmente esse objeto. O conteúdo principal é a Lei de Gauss, que nos permite calcular o fluxo do campo elétrico através de qualquer superfície fechada a partir da carga total que ela encerra.

Passo 2

A Lei de Gauss afirma que
\Phi = \oint_{\mathcal{S}}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} \;=\;\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}},
onde Q_{\text{int}} é a carga total contida no interior da superfície \mathcal{S} e \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo. Note que a forma, o tipo de distribuição (volume, linha ou superfície) e o formato de \mathcal{S} não afetam o resultado: só importa quanto de carga está dentro dela.

Passo 3

Situação 1: o cubo de aresta a carrega carga total Q distribuída uniformemente em seu volume e está inteiramente dentro da superfície cúbica \mathcal{S} de aresta L>a. Logo, a carga encerrada é
Q_{\text{int}} = Q
e o fluxo é
\Phi_1 = \frac{Q}{\varepsilon_{0}}.

Passo 4

Situação 2: o fio reto de comprimento L e carga total Q está alojado inteiramente dentro de um cilindro \mathcal{S} de raio R e comprimento também L. Mesmo que as extremidades do fio coincidam com as tampas do cilindro, o fio inteiro está dentro de \mathcal{S}, portanto
Q_{\text{int}} = Q
e
\Phi_2 = \frac{Q}{\varepsilon_{0}}.

Passo 5

Situação 3: a esfera de raio r carrega carga total Q uniformemente em seu volume e está contida dentro da superfície esférica \mathcal{S} de raio R>r. Assim, a carga interna é
Q_{\text{int}} = Q
e o fluxo é
\Phi_3 = \frac{Q}{\varepsilon_{0}}.

Resposta

(a) \Phi_1 = \dfrac{Q}{\varepsilon_{0}}
(b) \Phi_2 = \dfrac{Q}{\varepsilon_{0}}
(c) \Phi_3 = \dfrac{Q}{\varepsilon_{0}}

Exercícios relacionados