Responda V ou F nas afirmações abaixo. Se verdadeiro prove, se falso dê um contra exemplo.
Se A e B são matrizes simétricas de mesma ordem então A+B é uma matriz simétrica { }^{1}.

Passo 1

O enunciado pede: decidir se a afirmação abaixo é verdadeira (V) ou falsa (F). Se for verdadeira, provar; se for falsa, dar um contraexemplo.
Afirmação: “Se A e B são matrizes simétricas de mesma ordem então A+B é uma matriz simétrica.”
Informações dadas:
  • A é matriz simétrica (isto é, alguma matriz quadrada tal que uma propriedade será usada).
  • B é matriz simétrica (idem).
  • As duas têm a mesma ordem (mesma dimensão), portanto a soma A+B está bem definida.

Passo 2

Definições e ferramentas que vamos usar (explicadas devagarinho).
Definição de matriz transposta: se M=(m_{ij}) é uma matriz, a transposta M^T é a matriz cujos elementos são dados por
(M^T)_{ij}=m_{ji}.
Isto significa que a transposição troca linhas por colunas: a entrada na linha i, coluna j de M^T é a entrada na linha j, coluna i de M.
Definição de matriz simétrica: uma matriz M é simétrica se
M^T=M,
ou, elemento a elemento,
m_{ij}=m_{ji}\quad\text{para todo }i,j.
Uma propriedade básica das transposições que vamos usar é que a transposta da soma é a soma das transpostas. Vou provar essa propriedade elemento a elemento para ficar bem claro.

Passo 3

Provar que (A+B)^T=A^T+B^T (propriedade do operador transposta sobre soma), usando a definição elemento a elemento.
Seja A=(a_{ij}) e B=(b_{ij}). Então a soma A+B tem entradas
(A+B)_{ij}=a_{ij}+b_{ij}.
Aplicando a definição de transposta,
\bigl((A+B)^T\bigr)_{ij}=(A+B)_{ji}=a_{ji}+b_{ji}.
Por outro lado,
(A^T)_{ij}=a_{ji},\qquad (B^T)_{ij}=b_{ji},
logo
\bigl(A^T+B^T\bigr)_{ij}=a_{ji}+b_{ji}.
Como as duas matrizes têm as mesmas entradas para todo i,j, conclui-se que
(A+B)^T=A^T+B^T.
Essa igualdade vale para quaisquer matrizes A e B de mesma ordem.

Passo 4

Aplicar a hipótese de simetria de A e B.
Pelo enunciado, A e B são simétricas, então
A^T=A,\qquad B^T=B.
Usando a propriedade provada no passo anterior,
(A+B)^T = A^T + B^T = A + B.
Portanto (A+B)^T = A+B, que por definição significa que A+B é simétrica.

Passo 5

Exemplo numérico ilustrativo (para sentir na prática):
Escolha
A=\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]2 & 3\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}4 & 5\\[4pt]5 & 6\end{pmatrix}.
Ambas são simétricas porque a entrada (1,2) iguala a (2,1) em cada uma. A soma é
A+B=\begin{pmatrix}1+4 & 2+5\\[4pt]2+5 & 3+6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5 & 7\\[4pt]7 & 9\end{pmatrix},
e essa matriz também é simétrica (a entrada (1,2) é igual à (2,1)). Isso confirma concretamente o que provamos.]

Resposta

V

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