Responda V ou F nas afirmações abaixo. Se verdadeiro prove, se falso dê um contra exemplo.
Se
e
são matrizes simétricas de mesma ordem então
é uma matriz simétrica
.
Se
Passo 1
O enunciado pede: decidir se a afirmação abaixo é verdadeira (V) ou falsa (F). Se for verdadeira, provar; se for falsa, dar um contraexemplo.
Afirmação: “Se
e
são matrizes simétricas de mesma ordem então
é uma matriz simétrica.”
Informações dadas:
-
é matriz simétrica (isto é, alguma matriz quadrada tal que uma propriedade será usada). -
é matriz simétrica (idem). - As duas têm a mesma ordem (mesma dimensão), portanto a soma
está bem definida.
Passo 2
Definições e ferramentas que vamos usar (explicadas devagarinho).
Definição de matriz transposta: se
é uma matriz, a transposta
é a matriz cujos elementos são dados por
Isto significa que a transposição troca linhas por colunas: a entrada na linha
, coluna
de
é a entrada na linha
, coluna
de
.
Definição de matriz simétrica: uma matriz
é simétrica se
ou, elemento a elemento,
Uma propriedade básica das transposições que vamos usar é que a transposta da soma é a soma das transpostas. Vou provar essa propriedade elemento a elemento para ficar bem claro.
Passo 3
Provar que
(propriedade do operador transposta sobre soma), usando a definição elemento a elemento.
Seja
e
. Então a soma
tem entradas
Aplicando a definição de transposta,
Por outro lado,
logo
Como as duas matrizes têm as mesmas entradas para todo
, conclui-se que
Essa igualdade vale para quaisquer matrizes
e
de mesma ordem.
Passo 4
Aplicar a hipótese de simetria de
e
.
Pelo enunciado,
e
são simétricas, então
Usando a propriedade provada no passo anterior,
Portanto
, que por definição significa que
é simétrica.
Passo 5
Exemplo numérico ilustrativo (para sentir na prática):
Escolha
Ambas são simétricas porque a entrada
iguala a
em cada uma. A soma é
e essa matriz também é simétrica (a entrada
é igual à
). Isso confirma concretamente o que provamos.]
Resposta
V