Enuncie e demonstre o resultado apresentado em sala de aula que diz que uma matriz possui inversa apenas quando seu determinante é não nulo.
Passo 1
O que o enunciado pede: provar que uma matriz quadrada tem inversa se, e somente se, o seu determinante for não nulo. Em outras palavras, para uma matriz quadrada A (de ordem n), mostrar a equivalência
\text{(i)}\quad A \text{ é invertível} \qquad\Longleftrightarrow\qquad \text{(ii)}\quad \det(A)\neq 0.
Informações relevantes dadas (ou que vamos usar): A é uma matriz quadrada n\times n. Vamos usar definições básicas (inversa, determinante, cofatores) e propriedades standard do determinante, como a multiplicatividade \det(AB)=\det(A)\det(B) e a expansão por cofatores.
Passo 2
Definições e ideias-intuitivas (sem pular etapas).
Definição de inversa: dizer que A é invertível significa que existe uma matriz B tal que
AB=BA=I_n,
onde I_n é a matriz identidade de ordem n. Essa B é escrita como A^{-1}.
Definição de determinante (intuitiva): \det(A) é um número associado à matriz que, geometricamente, mede o fator de escala de volume linear causado pela transformação linear representada por A. Algebraicamente, é uma função multilinear alternante das colunas (ou linhas) que satisfaz \det(I_n)=1.
Propriedades que usaremos explicitamente:
Multiplicatividade: para quaisquer n\times nA e B vale \det(AB)=\det(A)\det(B).
Expansão por cofatores: ao definir cofator C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij} (onde M_{ij} é o determinante da matriz obtida de A eliminando linha i e coluna j), temos que a expansão do determinante pela linha i é
\det(A)=\sum_{k=1}^n a_{ik} C_{ik}.
Definição da matriz adjunta (adjugate): \operatorname{adj}(A) é a transposta da matriz dos cofatores, i.e., \operatorname{adj}(A)_{ij}=C_{ji}.
Vou dar um mini-exemplo 2×2 para fixar a intuição. Se
A=\begin{pmatrix} a & b \\\ c & d \end{pmatrix},
então \det(A)=ad-bc. Se \det(A)=0 isso significa que as colunas são proporcionais (dependentes), a transformação esmaga áreas a zero, e a matriz não tem inversa. Se \det(A)\neq 0 então a inversa existe e é
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix} d & -b \\\\ -c & a \end{pmatrix},
o que já dá uma pista da fórmula geral A^{-1}=\dfrac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A) (quando \det(A)\neq 0).
Passo 3
Prova da implicação direta: se A é invertível então \det(A)\neq 0.
Se A é invertível, existe A^{-1} tal que AA^{-1}=I_n. Aplicando a propriedade multiplicativa do determinante,
\det(A)\det(A^{-1})=\det(AA^{-1})=\det(I_n)=1.
Esse produto é igual a 1, logo \det(A) não pode ser zero (pois se \det(A)=0 o produto seria 0, contradizendo 1). Portanto
A \text{ invertível } \Longrightarrow \det(A)\neq 0.í
Comentário didático: a ideia é bem simples — a determinante mede o quanto a transformação “espalha” volumes; se a transformação tem inversa, ela não pode colapsar volumes a zero, então o determinante não pode ser zero.
Passo 4
Prova da implicação recíproca: se \det(A)\neq 0 então A é invertível (construção explícita do inverso usando a adjunta).
Vamos mostrar a identidade chave
é exatamente a expansão de \det(A) pela linha i. Logo, para i=j,
\bigl(A\operatorname{adj}(A)\bigr)_{ii}=\det(A).
Caso i\neq j. Considere a matriz B obtida a partir de A trocando a linha j por uma cópia da linha i (portanto B tem duas linhas iguais se i\neq j). Então \det(B)=0 porque determinante de matriz com duas linhas iguais é zero. Por outro lado, ao expandir \det(B) pela linha j (que agora é a linha original i), obtém-se exatamente
\det(B)=\sum_{k=1}^n a_{ik} C_{jk}.
Como \det(B)=0, segue \sum_{k=1}^n a_{ik} C_{jk}=0. Portanto, para i\neq j,
\bigl(A\operatorname{adj}(A)\bigr)_{ij}=0.
Juntando os dois casos, obtemos a identidade matricial
A\operatorname{adj}(A)=\det(A)\,I_n.
Se \det(A)\neq 0, divida ambos os lados por \det(A) (isto é, multiplique por 1/\det(A)) para obter
Isso mostra que a matriz \dfrac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A) é uma inversa à esquerda de A. Fazendo a mesma argumentação para \operatorname{adj}(A)A obtém-se uma inversa à direita; mas para quadradas ter inversa à esquerda já implica inversa bilateral. Portanto A é invertível e
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A).
Comentário prático: essa construção generaliza o caso 2\times2 que vimos antes e fornece uma fórmula explícita para o inverso quando \det(A)\neq 0.
Passo 5
Observação alternativa e intuição via independência linear (útil na prova conceitual em provas rápidas).
Se as colunas de A são linearmente dependentes, existe x\neq 0 tal que Ax=0; então A não é injetora, logo não pode ter inversa. Neste caso o determinante é zero (pois determinante alternante zera se há dependência linear entre colunas).
Se \det(A)\neq 0, as colunas são linearmente independentes (o determinante ser diferente de zero garante independência das colunas), então o núcleo de A é apenas \{0\} e a transformação linear é bijetora, portanto existe inversa linear — isto é, A é invertível.
Essa visão é muito útil para “entender” o resultado sem construir explicitamente a inversa: determinante não nulo ⇔ colunas independentes ⇔ transformação bijetora ⇔ inversível.
Passo 6
Resumo e conclusão final (motivação e dica prática).
Demonstrámos duas direções: (i) se A tem inversa então \det(A)\neq 0 (pela multiplicatividade do determinante); (ii) se \det(A)\neq 0 então A^{-1}=(1/\det(A))\operatorname{adj}(A), logo A é invertível.
Dica para prova/uso em prova: para mostrar que uma matriz não é inversível, mostre que \det(A)=0 (mais rápido); para construir inversa manualmente em dimensões pequenas, calcule cofatores / adjunta ou use eliminação de Gauss (que também mostra a dependência das colunas quando falha).
Resposta
A matriz quadrada A é invertível se, e somente se, \det(A)\neq 0.