Responder as questões que se seguem:
Projete uma rede em “L” para casar uma carga \mathrm{ZL}=(25+\mathrm{j} 30) \Omega com uma linha de 50 \Omega na frequência de 1 GHz .

Passo 1

O enunciado pede: projetar uma rede em “L” que case a carga \mathrm{Z_L}=(25+\mathrm{j}\,30)\\ \Omega com uma linha/source de 50\\ \Omega na frequência de 1\\ \text{GHz}.
Informações dadas:
  • Z_L = 25 + \mathrm{j}\,30\\ \Omega (pego diretamente do enunciado).
  • R_S = 50\\ \Omega (impedância da linha / fonte).
  • f = 1\\ \text{GHz} (frequência de operação).
  • Deseja-se uma rede em “L” (dois elementos reativos: um série e um em derivação) que transforme a carga para 50\\ \Omega.
O objetivo final é fornecer os valores dos componentes (indutor ou capacitor em série; capacitor ou indutor em shunt) e onde eles ficam (série entre fonte e carga e shunt ao terra no lado da carga ou do gerador).

Passo 2

Escolha do método (em linguagem simples): existe duas topologias possíveis de rede em “L” (baixa-impedância e alta-impedância): para R_L < R_S usa-se tipicamente a topologia onde o elemento em série é indutivo e o elemento em shunt é capacitivo (topologia “low-pass” L) — essa escolha é a mais comum e eficiente aqui porque 25<50. Vou projetar a rede com:
  • um reatância série jX entre a linha de 50\\ \Omega e a carga;
  • um susceptância shunt jB conectada no nó entre jX e Z_L (isto é, o shunt fica no lado da carga, ao terra).
Explicação curta do porquê: a rede em “L” age transformando a impedância complexa da carga até uma impedância puramente real igual a 50\\ \Omega. Vamos resolver as equações de circuito para achar X e B.

Passo 3

Calcular a admitância da carga \mathrm{Y_L}=1/\mathrm{Z_L} e separar parte real (condutância G) e parte imaginária (susceptância associada à carga, que aqui vou chamar de B_L).
\mathrm{Y_L}=\frac{1}{25+\mathrm{j}\,30}=\frac{25-\mathrm{j}\,30}{25^{2}+30^{2}}=\frac{25-\mathrm{j}\,30}{1525}.
Logo:
G=\operatorname{Re}(\mathrm{Y_L})=\frac{25}{1525}=\frac{1}{61}\approx 0,016393\\ \mathrm{S},
B_L=-\operatorname{Im}(\mathrm{Y_L})=\frac{30}{1525}=\frac{6}{305}\approx 0,019672\\ \mathrm{S}.
Observação: a admitância tem a forma \mathrm{Y_L}=G-\mathrm{j}\,B_L porque a carga tem reatância indutiva ( +\mathrm{j}30\\ \Omega).

Passo 4

Escrever a condição de casamento para a topologia escolhida (shunt no lado da carga): a impedância vista pela fonte é
Z_{\text{in}}= \mathrm{j}X + \frac{1}{\mathrm{Y_L} + \mathrm{j}B},
onde jX é a reatância série que vamos inserir e jB é a susceptância shunt que será adicionada em paralelo com \mathrm{Y_L}. Queremos Z_{\text{in}}=50 (puro real). Portanto:
\mathrm{j}X + \frac{1}{\mathrm{Y_L}+\mathrm{j}B}=50.
Invertemos essa relação para obter \mathrm{Y_L}+\mathrm{j}B:
\mathrm{Y_L}+\mathrm{j}B=\frac{1}{50-\mathrm{j}X}=\frac{50+\mathrm{j}X}{50^{2}+X^{2}}=\frac{50}{2500+X^{2}}+\mathrm{j}\,\frac{X}{2500+X^{2}}.
Agora igualamos parte real e imaginária com \mathrm{Y_L}+\mathrm{j}B = G + \mathrm{j}(B - B_L) (pois \mathrm{Y_L}=G-\mathrm{j}B_L, ao somar \mathrm{j}B fica G+\mathrm{j}(B-B_L)).
Assim obtemos o sistema:
G=\frac{50}{2500+X^{2}},
B-B_L=\frac{X}{2500+X^{2}}.

Passo 5

Resolver a equação para X a partir da igualdade das partes reais:
G=\frac{50}{2500+X^{2}}\quad\Rightarrow\quad 2500+X^{2}=\frac{50}{G}.
Mas G=\dfrac{1}{61}, então
\frac{50}{G}=50\cdot 61 =3050,
logo
X^{2}=3050-2500=550.
Tomando raiz:
X=\pm\sqrt{550}\approx \pm 23{,}452\\ \Omega.
Interpretação do sinal: X>0 corresponde a reatância indutiva ( jX é indutor), X<0 corresponde a reatância capacitiva (série com capacitor). Pela escolha de topologia para R_L<R_S escolhemos a solução com X>0 (série indutivo), que é a topologia típica “low-pass” L. Assim usaremos X=+23{,}452\\ \Omega.

Passo 6

Agora calculamos a susceptância shunt B usando a segunda equação:
B-B_L=\frac{X}{2500+X^{2}}=\frac{\sqrt{550}}{3050}.
Numericamente:
\frac{\sqrt{550}}{3050}\approx 0,0076885\\ \mathrm{S}.
Lembrando B_L=\dfrac{6}{305}\approx 0,0196721\\ \mathrm{S}, temos
B = B_L + 0,0076885 \approx 0,0196721 + 0,0076885 \approx 0,0273606\\ \mathrm{S}.
Significado do sinal: B>0 indica susceptância capacitiva (porque para um capacitor B=\omega C>0); portanto o elemento shunt é um capacitor ao terra.

Passo 7

Converter as reatâncias/susceptâncias em componentes físicos na frequência dada ( f=1\\ \text{GHz}, \omega=2\pi f=2\pi\cdot 10^{9}\\ \mathrm{rad/s}).
Para a reatância série indutiva X=\omega L, portanto
L=\frac{X}{\omega}=\frac{23{,}452}{2\pi\cdot 10^{9}}\\ \mathrm{H}\approx 3{,}7337\times 10^{-9}\\ \mathrm{H}=3{,}73\\ \text{nH}.
Para a susceptância shunt capacitiva B=\omega C, portanto
C=\frac{B}{\omega}=\frac{0,0273606}{2\pi\cdot 10^{9}}\\ \mathrm{F}\approx 4{,}3544\times 10^{-12}\\ \mathrm{F}=4{,}35\\ \text{pF}.

Passo 8

Verificação rápida (racional): com X=23{,}452\\ \Omega e B=0,0273606\\ \mathrm{S} a expressão
Z_{\text{in}}= \mathrm{j}X + \frac{1}{G+\mathrm{j}(B-B_L)}
leva a Z_{\text{in}}=50\\ \Omega (a conta algébrica fecha: o denominador no inverso ficou G^{2}+(B-B_L)^{2} e produz exatamente os números que geram 50 na parte real e cancelam a parte imaginária quando somadas a \mathrm{j}X — isto já foi usado implicitamente nas equações acima). Em termos práticos, a combinação série indutor + capacitor shunt transforma a carga complexa em uma impedância real igual a 50\\ \Omega na frequência de projeto.

Resposta

Indutor série L = 3,73\\ \text{nH} (entre a linha de 50\\ \Omega e a carga)
Capacitor shunt C = 4,35\\ \text{pF} (conectado do nó carga–reatância ao terra)

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