Responder as questões que se seguem:
Projete uma rede em “L” para casar a carga
com uma linha de
na frequência de 2 GHz , utilizando uma rede diferente daquela encontrada no exercício anterior
Projete uma rede em “L” para casar a carga
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver nada ainda).
- Dado: impedância de carga
. - Dado: linha (fonte) com resistência característica
. - Dado: frequência de operação
. - Pedido: projetar uma rede em “L” que case
com a linha de , usando uma topologia diferente da do exercício anterior (portanto vou escolher a outra topologia padrão de L). - Observação: a solução deve dar os valores dos elementos reativos (indutores/capacitores) a serem usados na frequência dada.
Passo 2
Explicando de forma direta o que é uma “rede em L” e qual topologia vou usar (sem pular etapas).
Uma rede em “L” é um circuito com dois elementos reativos (um em série e outro em paralelo) que, sendo ambos puramente reativos, podem transformar impedâncias sem perda de potência. Existem duas topologias possíveis de L (espelhadas):
- Topologia A: elemento shunt (paralelo) na entrada (próximo à fonte) e elemento série próximo à carga.
- Topologia B: elemento série próximo à fonte e elemento shunt próximo à carga.
Para cargas com
(aqui
) a topologia que coloca o elemento shunt próximo à fonte e o elemento série próximo à carga é a adequada. Vou desenhar essa topologia (será “diferente” da outra possivelmente usada no exercício anterior): a ordem é
fonte nó de entrada (onde vai o shunt reativo para terra)
elemento série
carga
.
fonte
Estratégia matemática: escolher
tal que a admitância (admitância da combinação série carga+Xs vista do nó do shunt) tenha parte real igual a
. Depois escolhe-se a susceptância shunt
que anule a parte imaginária da admitância, de modo que a admitância total vista pela fonte seja exatamente
puro (logo
).
Passo 3
Escrever as fórmulas e montar a equação que determina o reatância série
.
- Defino a impedância modificada (colocando uma série reatância
em série com a carga):
- A admitância correspondente é
- A parte real de
é
Queremos que essa parte real valha
. Portanto impomos:
Passo 4
Resolver a equação para
.
Partindo da equação:
Multiplicando ambos os lados por
(pois
):
Logo
Portanto as duas soluções para a reatância série são
Isso nos dá duas soluções de rede em L (duas topologias “espelhadas” em termos de sinais das susceptâncias shunt): ambas têm o mesmo módulo de susceptância shunt, com sinais opostos.
Passo 5
Determinar a susceptância shunt necessária para cada solução (e interpretar tipo reativo).
A parte imaginária de
é
Para cada
calculamos
e escolhemos a susceptância shunt
tal que a admitância total
fique puramente real
. Ou seja,
Calculemos (note que
em ambos os casos):
- Para
: . Então
Logo a susceptância shunt requerida é
Como
, isso corresponde a um capacitor em shunt (admitância de capacitor
com
).
- Para
: . Então
Logo a susceptância shunt requerida é
Como
, isso corresponde a um indutor em shunt (admitância de indutor
que é imaginária negativa).
Resumo qualitativo:
- Solução 1:
(reatância série indutiva) + shunt capacitor com . - Solução 2:
(reatância série indutiva menor) + shunt indutor com .
Passo 6
Converter reatâncias e susceptâncias nos valores físicos
e
usando
.
Calculemos
:
Numericamente
.
Agora os valores:
- Série, caso
: série é indutivo ( ), então
- Série, caso
:
- Shunt capacitor (para
): como ,
- Shunt indutor (para
): como , então
Passo 7
Verificação rápida (checar que a combinação de admitâncias dá
) — cálculo mostrado de forma simples.
- Para a solução com
e :
Somando a susceptância do capacitor
obtém-se
, logo
.
- Para a solução com
e :
somando a susceptância do indutor
dá
novamente, ou seja
. Verificação OK.
Passo 8
Interpretação prática e sugestão (um empurrãozinho amigo).
- Ambas as soluções casam perfeitamente; escolha entre elas depende de considerações práticas: perdas parasitas, tamanho do componente, polaridade de resposta em frequência (uma opção usará um capacitor em shunt, a outra um indutor em shunt), disponibilidade de componentes e facilidade de implementação na PCB/microstrip.
- Em frequência de
, valores típicos: indutores na faixa de poucos nH e capacitores de alguns pF são plausíveis. A solução com de e tem série com indutor maior; a outra tem série indutor menor e shunt indutor . Se for uma implementação em microstrip pode ser melhor transformar um desses valores em uma linha de transmissão equivalente, mas aqui dei os valores lumped para componentes discretos.
Resposta
Solução 1 (série indutor + shunt capacitor):
L série (reatância
)
C shunt (susceptância
)
L série
C shunt
Solução 2 (série indutor menor + shunt indutor):
L série (reatância
)
L shunt (susceptância
)
L série
L shunt