Deseja-se casar uma carga de
em uma LT de
. (a) Determine a impedância característica exigida para um transformador de quarto de onda. (b) Quais são os comprimentos de linha e de tocos exigidos para uma rede de casamento com toco em paralelo?
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (sem resolver ainda):
- Dados fornecidos:
- Impedância da linha de alimentação:
. - Carga puramente resistiva:
.
- Impedância da linha de alimentação:
- Perguntas:
- (a) Determinar a impedância característica
exigida para um transformador de quarto de onda (ou seja, uma linha de comprimento usada como transformador). - (b) Para uma rede de casamento usando um toco (stub) em paralelo (isto é, um stub shunt ligado à linha a uma certa distância da carga), determinar os comprimentos da seção de linha (distância entre carga e ponto onde o stub é ligado) e os comprimentos do(s) toco(s) necessários. Não há frequência dada, então as respostas devem ser expressas em frações de
.
- (a) Determinar a impedância característica
Passo 2
Resolver (a) — ideia e fórmula do quartro-de-onda:
- Lembrete da propriedade do transformador de quarto de onda: uma linha lossless de comprimento
transforma a impedância de terminação segundo
onde
é a impedância característica da seção
. Para casar com a linha de alimentação pede-se
. Portanto
- Explicação didática curta: a linha de
age como um inversor de impedâncias (impedância e admitância se trocam de forma multiplicativa), daí a raiz quadrada.
Passo 3
Calcular numericamente
:
Passo 4
Resolver (b) — estratégia para casamento com toco em paralelo:
- Plano: para um stub em shunt (paralelo) queremos deslocar, ao longo da linha, a admissão da carga até um ponto onde a parte real da admitância (condutância) normalizada seja igual a 1; então um stub puramente reativo (sem condutância) pode cancelar a parte imaginária remanescente.
- Notação e normalização:
-
. - vamos escrever
e tomar , onde é a distância medida a partir da carga em direção à fonte até o ponto de conexão do stub.
-
- Fórmula do impedância normalizada à distância
(linha lossless, carga puramente resistiva):
- Então a admitância normalizada é
. Vamos obter suas partes real e imaginária em função de .
Passo 5
Cálculo explícito de
(didático, passo a passo):
- Inverte-se
:
Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado
e separando real/ímag:
- Portanto a condutância (parte real normalizada) e a susceptância (parte imaginária normalizada) são
- Para casar com uma linha de característica
via stub shunt, precisamos que a condutância normalizada naquele ponto seja , porque o stub fornece somente susceptância (parte imaginária). Então impomos .
Passo 6
Resolver
para encontrar as posições possíveis
:
Reorganizando:
Logo
- Obter
em fração de :
usando as soluções principais e lembrando a periodicidade da tangente. Numericamente:
Assim existem duas posições possíveis do stub medidas a partir da carga:
ou
.
Passo 7
Determinar a susceptância a ser cancelada e o comprimento do toco (stub):
- Usando
na fórmula de obtemos (substituindo )
Numericamente,
- Queremos que o stub, em admitância normalizada, seja
para anular a parte imaginária do ponto de conexão. - Relações para stubs sem perdas:
- stub curto-circuitado (short-circuited):
(normalizado). - stub aberto (open-circuited):
(normalizado).
- stub curto-circuitado (short-circuited):
- Para cada sinal de
(associado a cada uma das duas posições ) pode-se escolher stub curto ou aberto. Calculemos os comprimentos mínimos positivos (menores que ):
Curto-circuitado:
Para
:
A outra solução (módulo
) dá
Aberto:
Para
uma solução conveniente é
A outra solução relevante (para o outro sinal de
) dá
.
Passo 8
Combinar resultados e listar as soluções práticas:
- Há duas posições possíveis do stub a partir da carga:
- Posição 1:
. - Se o stub for curto-circuitado:
. - Se o stub for aberto:
.
- Se o stub for curto-circuitado:
- Posição 2:
. - Se o stub for curto-circuitado:
. - Se o stub for aberto:
.
- Se o stub for curto-circuitado:
- Posição 1:
- Observação prática: normalmente escolhe-se a combinação que resulte em comprimento de stub mais curto ou mais fácil de implementar (por exemplo, stub curto-circuitado com
em é uma boa escolha).
Resposta
(a)
(b) Duas soluções (distância do stub medida a partir da carga, e comprimentos de stub em fração de
):
- Posição 1:
; stub curto-circuitado (ou stub aberto ). - Posição 2:
; stub curto-circuitado (ou stub aberto ).