Deseja-se casar uma carga de 170 \Omega em uma LT de 50 \Omega. (a) Determine a impedância característica exigida para um transformador de quarto de onda. (b) Quais são os comprimentos de linha e de tocos exigidos para uma rede de casamento com toco em paralelo?

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (sem resolver ainda):
  • Dados fornecidos:
    • Impedância da linha de alimentação: Z_0 = 50\\ \Omega.
    • Carga puramente resistiva: Z_L = 170\\ \Omega.
  • Perguntas:
    • (a) Determinar a impedância característica Z_t exigida para um transformador de quarto de onda (ou seja, uma linha de comprimento \lambda/4 usada como transformador).
    • (b) Para uma rede de casamento usando um toco (stub) em paralelo (isto é, um stub shunt ligado à linha a uma certa distância da carga), determinar os comprimentos da seção de linha (distância entre carga e ponto onde o stub é ligado) e os comprimentos do(s) toco(s) necessários. Não há frequência dada, então as respostas devem ser expressas em frações de \lambda.

Passo 2

Resolver (a) — ideia e fórmula do quartro-de-onda:
  • Lembrete da propriedade do transformador de quarto de onda: uma linha lossless de comprimento \lambda/4 transforma a impedância de terminação segundo
Z_{\text{in}} = \frac{Z_t^{2}}{Z_L},
onde Z_t é a impedância característica da seção \lambda/4. Para casar com a linha de alimentação pede-se Z_{\text{in}} = Z_0. Portanto
Z_0 = \frac{Z_t^{2}}{Z_L}\quad\Rightarrow\quad Z_t = \sqrt{Z_0\,Z_L}.
  • Explicação didática curta: a linha de \lambda/4 age como um inversor de impedâncias (impedância e admitância se trocam de forma multiplicativa), daí a raiz quadrada.

Passo 3

Calcular numericamente Z_t:
Z_t = \sqrt{50\cdot170}=\sqrt{8500}\approx 92{,}20\\ \Omega.

Passo 4

Resolver (b) — estratégia para casamento com toco em paralelo:
  • Plano: para um stub em shunt (paralelo) queremos deslocar, ao longo da linha, a admissão da carga até um ponto onde a parte real da admitância (condutância) normalizada seja igual a 1; então um stub puramente reativo (sem condutância) pode cancelar a parte imaginária remanescente.
  • Notação e normalização:
    • r=\dfrac{R_L}{Z_0}=\dfrac{170}{50}=3{,}4.
    • vamos escrever \beta = 2\pi/\lambda e tomar t=\tan(\beta d), onde d é a distância medida a partir da carga em direção à fonte até o ponto de conexão do stub.
  • Fórmula do impedância normalizada à distância d (linha lossless, carga puramente resistiva):
z_{\text{in}}(d)=\frac{r + j t}{1 + j r t}.
  • Então a admitância normalizada é y_{\text{in}}(d)=1/z_{\text{in}}(d). Vamos obter suas partes real e imaginária em função de t.

Passo 5

Cálculo explícito de y_{\text{in}}(d) (didático, passo a passo):
  • Inverte-se z_{\text{in}}:
y_{\text{in}}(d)=\frac{1 + j r t}{r + j t}.
Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado r - j t e separando real/ímag:
y_{\text{in}}(d)=\frac{(1 + j r t)(r - j t)}{r^{2}+t^{2}} =\frac{r(1+t^{2}) + j\,t(r^{2}-1)}{r^{2}+t^{2}}.
  • Portanto a condutância (parte real normalizada) e a susceptância (parte imaginária normalizada) são
g(t)=\frac{r(1+t^{2})}{r^{2}+t^{2}},\qquad b(t)=\frac{t(r^{2}-1)}{r^{2}+t^{2}}.
  • Para casar com uma linha de característica Z_0 via stub shunt, precisamos que a condutância normalizada naquele ponto seja g=1, porque o stub fornece somente susceptância (parte imaginária). Então impomos g(t)=1.

Passo 6

Resolver g(t)=1 para encontrar as posições possíveis d:
\frac{r(1+t^{2})}{r^{2}+t^{2}}=1 \quad\Rightarrow\quad r(1+t^{2})=r^{2}+t^{2}.
Reorganizando:
r + r t^{2} = r^{2} + t^{2} \quad\Rightarrow\quad t^{2} = r.
Logo
t=\tan(\beta d)=\pm\sqrt{r}=\pm\sqrt{3{,}4}\approx\pm 1{,}8439.
  • Obter d em fração de \lambda:
\beta d=\arctan(t)\quad\Rightarrow\quad d=\frac{1}{2\pi}\,\arctan(t)\,\lambda,
usando as soluções principais e lembrando a periodicidade da tangente. Numericamente:
d_1/\lambda=\frac{\arctan(+1{,}8439)}{2\pi}\approx\frac{1{,}06665}{2\pi}\approx 0{,}1698,
d_2/\lambda=\frac{\arctan(-1{,}8439)+\pi}{2\pi}\approx\frac{-1{,}06665+\pi}{2\pi}\approx 0{,}3302.
Assim existem duas posições possíveis do stub medidas a partir da carga: d\approx 0{,}1698\lambda ou d\approx 0{,}3302\lambda.

Passo 7

Determinar a susceptância a ser cancelada e o comprimento do toco (stub):
  • Usando t^{2}=r na fórmula de b(t) obtemos (substituindo t=\pm\sqrt{r})
b=\pm\frac{r-1}{\sqrt{r}}.
Numericamente,
b=\pm\frac{3{,}4-1}{\sqrt{3{,}4}}=\pm\frac{2{,}4}{1{,}8439}\approx\pm 1{,}3019.
  • Queremos que o stub, em admitância normalizada, seja y_{\text{stub}}=-j b para anular a parte imaginária do ponto de conexão.
  • Relações para stubs sem perdas:
    • stub curto-circuitado (short-circuited): y_{\text{stub}} = -j\cot(\beta l) (normalizado).
    • stub aberto (open-circuited): y_{\text{stub}} = j\tan(\beta l) (normalizado).
  • Para cada sinal de b (associado a cada uma das duas posições d_1,d_2) pode-se escolher stub curto ou aberto. Calculemos os comprimentos mínimos positivos (menores que \lambda):
Curto-circuitado:
\cot(\beta l)=b \quad\Rightarrow\quad \beta l=\operatorname{arccot}(b)=\arctan\!\left(\frac{1}{b}\right).
Para b=+1{,}3019:
\beta l \approx \arctan(0{,}7679)=0{,}652535\\ \text{rad}\Rightarrow l/\lambda\approx\frac{0{,}652535}{2\pi}\approx 0{,}1039.
A outra solução (módulo \pi) dá
l/\lambda\approx 0{,}3961.
Aberto:
\tan(\beta l)=-b \quad\Rightarrow\quad \beta l=\arctan(-b)+n\pi.
Para b=+1{,}3019 uma solução conveniente é
\beta l \approx \pi-0{,}915925=2{,}22566\\ \text{rad}\Rightarrow l/\lambda\approx 0{,}3545.
A outra solução relevante (para o outro sinal de b) dá l/\lambda\approx 0{,}1458.

Passo 8

Combinar resultados e listar as soluções práticas:
  • Há duas posições possíveis do stub a partir da carga:
    • Posição 1: d_1 \approx 0{,}1698\,\lambda.
      • Se o stub for curto-circuitado: l \approx 0{,}1039\,\lambda.
      • Se o stub for aberto: l \approx 0{,}3545\,\lambda.
    • Posição 2: d_2 \approx 0{,}3302\,\lambda.
      • Se o stub for curto-circuitado: l \approx 0{,}3961\,\lambda.
      • Se o stub for aberto: l \approx 0{,}1458\,\lambda.
  • Observação prática: normalmente escolhe-se a combinação que resulte em comprimento de stub mais curto ou mais fácil de implementar (por exemplo, stub curto-circuitado com l\approx 0{,}1039\,\lambda em d\approx0{,}1698\,\lambda é uma boa escolha).

Resposta

(a) Z_t = \sqrt{50\cdot170}\approx 92{,}20\\ \Omega
(b) Duas soluções (distância do stub medida a partir da carga, e comprimentos de stub em fração de \lambda):
  • Posição 1: d \approx 0{,}1698\,\lambda; stub curto-circuitado l\approx 0{,}1039\,\lambda (ou stub aberto l\approx 0{,}3545\,\lambda).
  • Posição 2: d \approx 0{,}3302\,\lambda; stub curto-circuitado l\approx 0{,}3961\,\lambda (ou stub aberto l\approx 0{,}1458\,\lambda).

Exercícios relacionados