Determine o comprimento e a impedância de um transformador de quarto de onda necessários ao casamento de uma carga de 100 \Omega a uma linha de transmissão com impedância característica Z 0=50 \Omega. O dielétrico da linha é o ar e a frequência de operação é \mathrm{f}=10^{4} \mathrm{MHz}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Determinar o comprimento de um transformador de quarto de onda necessário para casar uma carga de 100\\ \Omega com uma linha de transmissão de impedância característica Z_0=50\\ \Omega à frequência f=10^{4}\\ \mathrm{MHz}.
  • Determinar a impedância característica (valor de Z) da seção que faz esse casamento.
Informações fornecidas e constantes que vamos usar:
  • Carga: Z_L=100\\ \Omega.
  • Linha de referência (linha de alimentação): Z_0=50\\ \Omega.
  • Frequência: f=10^{4}\\ \mathrm{MHz}=10^{4}\times10^{6}\\ \mathrm{Hz}=10^{10}\\ \mathrm{Hz}.
  • O dielétrico é ar, logo a permissividade relativa é \varepsilon_r\approx1 e a velocidade de propagação é v_p=c\approx3\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
  • O transformador pedido é um trecho de linha de comprimento \lambda/4 (quarto de onda) com impedância característica Z_t a determinar.

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula de entrada de uma linha lossless de impedância característica Z_t, comprimento l e constante de fase \beta, terminada por Z_L:
Z_{\mathrm{in}}=Z_t\frac{Z_L + jZ_t\tan(\beta l)}{Z_t + jZ_L\tan(\beta l)}.
Aqui \beta=\dfrac{2\pi}{\lambda} e \lambda é o comprimento de onda na linha.
No caso especial l=\lambda/4 temos \beta l=\dfrac{2\pi}{\lambda}\cdot\dfrac{\lambda}{4}=\dfrac{\pi}{2}. Então \tan(\beta l)=\tan\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right) tende a infinito. Tomando o limite (ou simplificando a expressão para esse ângulo), obtemos a relação clássica do transformador de quarto de onda:
Z_{\mathrm{in}}=\frac{Z_t^2}{Z_L}.
Para que não haja reflexão e a seção de quarto de onda case a carga com a linha de alimentação, devemos ter Z_{\mathrm{in}}=Z_0. Assim:
Z_0=\frac{Z_t^2}{Z_L}\quad\Rightarrow\quad Z_t=\sqrt{Z_0\,Z_L}.
Esta é a fórmula que fornece a impedância requerida da seção de quarto-de-onda.

Passo 3

Calculemos numericamente Z_t usando Z_0=50\\ \Omega e Z_L=100\\ \Omega:
Z_t=\sqrt{50\cdot100}=\sqrt{5000}.
Agora a raiz:
\sqrt{5000}\approx70,7107\ldots
Arredondando de forma prática:
Z_t\approx70,71\\ \Omega.

Passo 4

Agora encontramos o comprimento físico da seção: é \lambda/4. Primeiro calcule \lambda com v_p=c e f=10^{10}\\ \mathrm{Hz}:
\lambda=\frac{v_p}{f}=\frac{3\times10^{8}}{10^{10}}=3\times10^{-2}\\ \mathrm{m}=0,03\\ \mathrm{m}.
O quarto de onda é:
\frac{\lambda}{4}=\frac{0,03}{4}=0,0075\\ \mathrm{m}=7,5\\ \mathrm{mm}.

Passo 5

Resumo prático e observações rápidas (tipo “cola” para a prova):
  • Fórmula-chave para o valor da impedância do transformador de quarto de onda: Z_t=\sqrt{Z_0Z_L}.
  • Comprimento físico a usar na frequência dada: l=\lambda/4 com \lambda=v_p/f. Como o dielétrico é ar, v_p=c.
  • Valores numéricos obtidos: Z_t\approx70,71\\ \Omega e l=7,5\\ \mathrm{mm}.
  • Nota prática: esse casamento é estritamente correto apenas na frequência projetada; deslocamento de frequência ou tolerâncias geométricas introduzem perda de casamento.

Resposta

Z_t\approx70,71\\ \Omega
l=\dfrac{\lambda}{4}=7,5\\ \mathrm{mm}

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