A resposta ao impulso unitário de um sistema LCIT é
Determine a resposta do sistema (estado nulo)
se a entrada
for
Passo 1
Beleza, vamos ver o que o problema diz. Temos um sistema linear e invariante no tempo (LCIT) cuja resposta ao impulso unitário é
e a entrada que aplicamos é
O que o exercício pede é calcular a saída
desse sistema (estado inicial nulo).
Conteúdo necessário: entender que, em sistemas LCIT, a saída é a convolução e saber resolver essa integral de convolução.
Conteúdo necessário: entender que, em sistemas LCIT, a saída é a convolução
Passo 2
O que é convolução de sinais?
Para um sistema LCIT,
Para um sistema LCIT,
Aqui a gente aproveita duas coisas:
-
e são nulos para (por causa do ). - Então a integral restringe para
entre 0 e . Ou seja,
Passo 3
Substituindo nossas funções:
h(τ)=e^{−τ}u(τ) e x(t−τ)=e^{−(t−τ)}u(t−τ).
Para , tudo dá zero. Para
, ambos os passos estão “ligados” (
de
e
desde
).
Então para :
h(τ)=e^{−τ}u(τ) e x(t−τ)=e^{−(t−τ)}u(t−τ).
Para
Então para
Passo 4
Agora resolvendo a integral:
Repare que
, independente de
.
Então fica
Então fica
E claro, lembrando do passo de “para
é zero”, a gente multiplica por
.