A resposta ao impulso unitário de um sistema LCIT é
h(t)=e^-t u(t)
Determine a resposta do sistema (estado nulo) y(t) se a entrada x(t) for
e^-t u(t)

Passo 1

Beleza, vamos ver o que o problema diz. Temos um sistema linear e invariante no tempo (LCIT) cuja resposta ao impulso unitário é
h(t) = e^-t,u(t)
e a entrada que aplicamos é
x(t) = e^-t,u(t)
O que o exercício pede é calcular a saída desse sistema (estado inicial nulo).
Conteúdo necessário: entender que, em sistemas LCIT, a saída é a convolução e saber resolver essa integral de convolução.

Passo 2

O que é convolução de sinais?
Para um sistema LCIT,
y(t) = (h*x)(t) = integral-infty^+infty h(tau),x(t-tau),dtau
Aqui a gente aproveita duas coisas:
  1. y(t) = integral0^t h(tau),x(t-tau),dtau e são nulos para (por causa do ).
  2. Então a integral restringe para entre 0 e . Ou seja,

Passo 3

Substituindo nossas funções:
h(τ)=e^{−τ}u(τ) e x(t−τ)=e^{−(t−τ)}u(t−τ).
Para y(t)=integral0^t e^-tau,e^-(t-tau),dtau , tudo dá zero. Para , ambos os passos estão “ligados” ( de e desde ).
Então para :

Passo 4

Agora resolvendo a integral:
y(t)=integral0^t e^-tau-(t-tau),dtau = integral0^t e^-t,dtau
Repare que y(t)=e^-t,integral0^t dtau = e^-t,[tau]0^t = t,e^-t , independente de .
Então fica
E claro, lembrando do passo de “para é zero”, a gente multiplica por .

Resposta

y(t) = t,e^-t,u(t)

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