A resposta de um sistema a tempo contínuo, sob condições iniciais nulas, para uma entrada do tipo rampa unitária é dada por
y(t)=20 t-30+40 e^-t-10 e^-2 t, forall t >= 0
Forneça a sua resposta ao impulso.

Passo 1

Beleza, o que a questão nos dá e o que ela quer?
– Enunciado resumido: temos a saída de um sistema LTI (condições iniciais nulas) quando a entrada é uma rampa unitária, ou seja
r(t)=tcdot u(t),
Essa saída é
y(t)=20t-30+40e^-t-10e^-2t, t>=0,
– Conteúdo: vamos usar as propriedades de derivada de convolução de sistemas LTI.
– O que precisamos: saber que, para um sistema LTI,
  1. Saída para rampa é .
  2. Como (a função degrau), então dá a resposta ao degrau.
  3. E outra derivada dá a resposta ao impulso: .

Passo 2

Explicando a teoria devagar:
– Convolução e derivada: se dydt=h(t)*u(t) , então h(t)=ddts(t)=d^2ydt^2, .
– No nosso caso, e . Logo
que é justamente a resposta ao degrau, digamos .
– Para achar o impulso , derivamos de novo:

Passo 3

Vamos calcular a primeira derivada de y(t)=20t-30+40e^-t-10e^-2t, :
dydt =20 ;+;0;+;40cdot(-e^-t);+;(-10)cdot(-2e^-2t) =20 -40e^-t+20e^-2t,
Derivando termo a termo (pra ):
Esse é o , a resposta ao degrau.

Passo 4

Agora a segunda derivada, que já é o nosso d^2ydt^2 =ddtl(20 -40e^-t+20e^-2tr) =0 + 40e^-t -40e^-2t, :

Resposta

A resposta ao impulso do sistema é
boxedh(t)=l(40e^-t-40e^-2tr),u(t),

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