A resposta de um sistema a tempo contínuo, sob condições iniciais nulas, para uma entrada do tipo rampa unitária é dada por
Forneça a sua resposta ao impulso.
Passo 1
Beleza, o que a questão nos dá e o que ela quer?
– Enunciado resumido: temos a saída de um sistema LTI (condições iniciais nulas) quando a entrada é uma rampa unitária, ou seja
– Enunciado resumido: temos a saída de um sistema LTI (condições iniciais nulas) quando a entrada é uma rampa unitária, ou seja
Essa saída é
– Conteúdo: vamos usar as propriedades de derivada de convolução de sistemas LTI.
– O que precisamos: saber que, para um sistema LTI,
– O que precisamos: saber que, para um sistema LTI,
- Saída para rampa
é . - Como
(a função degrau), então dá a resposta ao degrau. - E outra derivada dá a resposta ao impulso:
.
Passo 2
Explicando a teoria devagar:
– Convolução e derivada: se , então
.
– No nosso caso, e
. Logo
– Convolução e derivada: se
– No nosso caso,
que é justamente a resposta ao degrau, digamos
.
– Para achar o impulso , derivamos de novo:
– Para achar o impulso
Passo 3
Vamos calcular a primeira derivada de
:
Derivando termo a termo (pra
):
Esse é o
, a resposta ao degrau.
Passo 4
Agora a segunda derivada, que já é o nosso
:
Resposta
A resposta ao impulso do sistema é