Considere a equação diferencial de segunda ordem
ddoty(t)+2 xi omegan doty(t)+omegan^2 y(t)=omegan^2 v(t), y(0)=0, doty(0)=0
em que 0 e v(t) é o degrau unitário. Definido omegad:=omegan raiz1-xi^2, mostre que :
a) Sua solução geral é dada por
y(t)=1-e^-xi omegan t(cos (omegad t)+xi omeganomegad sen(omegad t))
b) O primeiro máximo de y(t) ocorre para t=tM tal que
omegad tM=pi
c) O valor máximo de y(t) é dado por
max t >= 0 y(t)=1+e^-xi pi / raiz1-xi^2

Passo 1

Beleza, a gente tem aqui uma equação diferencial linear de segunda ordem, com amortecimento subcrítico (0 < ξ < 1) e entrada degrau unitário v(t). O que cai nessa matéria: solução de EDOs lineares com coeficientes constantes, separando em solução homogênea + particular, usando as condições iniciais e depois estudando máximos pelo cálculo de extremos (y′=0). Vamos precisar
  1. achar a solução homogênea (y_h) pela raiz característica,
  2. achar a solução particular (y_p) para o degrau,
  3. ajustar constantes com y(0)=0 e y′(0)=0,
  4. derivar y(t) pra achar o tempo do primeiro pico,
  5. substituir e obter o valor máximo.

Passo 2

Primeiro, achamos a parte homogênea y_h(t). A equação homogênea é
ddot y + 2xiomegandot y + omegan^2,y = 0,
cuja equação característica é
s^2 + 2xiomegan,s + omegan^2 = 0
Como 0<ξ<1, as raízes são complexas:
s = -xiomegan pm i,omegad, omegad = omeganraiz1-xi^2
Então
yh(t) = e^-xiomegan tl(Acos(omegad t) + Bsin(omegad t)r)

Passo 3

Agora a solução particular y_p para a entrada degrau (v(t)=1) é constante. Substituindo y_p=K em
y(t)=yh(t)+yp = 1 + e^-xiomegan tl(Acosomegadt + Bsinomegadtr) ,
vem y'(t)=e^-xiomegan tl[-xiomegan(Acosomegadt+Bsinomegadt) +(-Aomegadsinomegadt+Bomegadcosomegadt)r] , logo K=1.
A solução geral é
y(t) =1 - e^-xiomegan tl(cos(omegad t) + tfracxiomeganomegadsin(omegad t)r),
Usando as condições iniciais y(0)=0 e y′(0)=0:
  • Em t=0: .
  • Derivando y(t): Em t=0: . Como A=-1,
    .
    Substituindo A e B, obtemos
que é a parte (a).

Passo 4

Para achar o primeiro máximo, calculamos y′(t)=0 de novo, mas agora sabemos A e B. Em vez de refazer tudo, usamos a forma já simplificada:
y'(t)=0 ;Longrightarrow; tanl(omegad t+varphir) =omegadxiomegan,
onde . Daí


.
Isso resolve a parte (b).

Passo 5

Para o valor máximo, basta usar t_M na expressão de y(t):
y(tM) =1 - e^-xiomegan(pi/omegad) l(cospi + tfracxiomeganomegadsinpir)
Mas y(tM) =1 - e^-xipi/raiz1-xi^2l(-1r) =1 + e^-tfracxipiraiz1-xi^2, e , e , então
que é a parte ©.

Resposta

a)
b)
c)

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