Considere a equação diferencial de segunda ordem
em que
e
é o degrau unitário. Definido
, mostre que :
a) Sua solução geral é dada por
b) O primeiro máximo de
ocorre para
tal que
c) O valor máximo de
é dado por
a) Sua solução geral é dada por
Passo 1
Beleza, a gente tem aqui uma equação diferencial linear de segunda ordem, com amortecimento subcrítico (0 < ξ < 1) e entrada degrau unitário v(t). O que cai nessa matéria: solução de EDOs lineares com coeficientes constantes, separando em solução homogênea + particular, usando as condições iniciais e depois estudando máximos pelo cálculo de extremos (y′=0). Vamos precisar
- achar a solução homogênea (y_h) pela raiz característica,
- achar a solução particular (y_p) para o degrau,
- ajustar constantes com y(0)=0 e y′(0)=0,
- derivar y(t) pra achar o tempo do primeiro pico,
- substituir e obter o valor máximo.
Passo 2
Primeiro, achamos a parte homogênea y_h(t). A equação homogênea é
cuja equação característica é
Como 0<ξ<1, as raízes são complexas:
Então
Passo 3
Agora a solução particular y_p para a entrada degrau (v(t)=1) é constante. Substituindo y_p=K em
,
vem , logo K=1.
A solução geral é
vem
A solução geral é
Usando as condições iniciais y(0)=0 e y′(0)=0:
- Em t=0:
⇒ . - Derivando y(t):
Em t=0: . Como A=-1,
⇒ .
Substituindo A e B, obtemos
que é a parte (a).
Passo 4
Para achar o primeiro máximo, calculamos y′(t)=0 de novo, mas agora sabemos A e B. Em vez de refazer tudo, usamos a forma já simplificada:
onde
. Daí
⇒
.
Isso resolve a parte (b).
⇒
Isso resolve a parte (b).
Passo 5
Para o valor máximo, basta usar t_M na expressão de y(t):
Mas
e
, e
, então
que é a parte ©.
Resposta
a)
b)
c)
b)
c)