Em um ressalto usinado de eixo, o diâmetro menor d é de
, o diâmetro maior D é de 1,65 in e o raio do filete é de
. O momento flexor é de 1260 Ibf in, e o momento permanente de torção é de 1100 Ibf in. O eixo de aço termo tratado apresenta uma resistência final de
e uma resistência ao escoamento de
. A meta de confiabilidade é de 0,99 . (a) Determine o fator de segurança à fadiga do projeto utilizando o critério ASM-elíptico- FS-1,93) (b) Determine o fator de segurança à fadiga do projeto utilizando o critério DE-Gerber (R- FS-1,74). Considere
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas (duas verificações de segurança à fadiga) para o ressalto usinado de eixo:
- (a) Determinar o fator de segurança à fadiga usando o critério ASM — elíptico.
- (b) Determinar o fator de segurança à fadiga usando o critério DE–Gerber.
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
Observações importantes que vamos usar (não inventei nada além do enunciado; estas são escolhas padrão usadas em projetos de eixos e em provas):
- O ponto crítico é o diâmetro menor
(é onde as tensões são maiores), portanto vou calcular tensões naquele diâmetro. - O momento flexor é alternante (gera tensão alternante de flexão). O torque é permanente (gera tensão média de cisalhamento, sem parte alternante).
- Para calcular a resistência à fadiga (limite de resistência modificada) vou usar a regra clássica:
(se ), e então multiplicar pelos fatores de superfície, tamanho e confiabilidade que são padrão em Shigley. Vou mostrar cada um deles e como calcular numericamente. - Para combinar as tensões de flexão e torção uso a forma de equivalente de von Mises (energia de distorção) para obter as componentes alternante e média equivalentes:
- Fórmulas geométricas padrão (barra circular maciça) para tensões:
A resolução começa no Passo 2.
Passo 2
Cálculo das tensões de flexão alternante e do cisalhamento médio no diâmetro menor
. Vou aplicar também os fatores de concentração
e
.
- Primeiro calcule o termo geométrico comum
:
- Tensão de flexão alternante (sem e com fator
):
Calcule numericamente:
Aplicando
:
- Tensão de cisalhamento média (torque permanente), com
:
Aplicando
:
-
Como o torque é permanente, a componente alternante de torção
. Como o momento de flexão é alternante puro, a componente média de flexão . -
Agora obtenho as tensões equivalentes (von Mises) alternante e média:
Resumo numérico (valores que vamos usar):
Passo 3
Cálculo do limite de fadiga básico e seus fatores de correção (para obter
modificado).
- Limite de fadiga básico (para uma barra em rotação):
(válido quando ).
- Fator de acabamento de superfície
(usamos a expressão padrão de Shigley):
onde para usinagem (turned) tipicamente
e
deve estar em MPa. Converto
para MPa:
Agora:
(Expliquei a fórmula: é a expressão empírica que dá como o acabamento superficial reduz o limite de fadiga.)
- Fator de tamanho
para flexão (barra circular, fórmula empírica de Shigley):
Converto
para mm:
.
-
Fator de confiabilidade
: para confiabilidade a tabela padrão dá . -
Os demais fatores (carga, temperatura, etc.) vou assumir =1 (condições típicas, como habitual em muitos exercícios onde não há indicação):
. -
Agora o
modificado:
Numericamente:
Portanto usamos
na verificação de fadiga.
Passo 4
Critério ASM — elíptico (passo a passo e solução numérica).
- Forma do critério ASM–elíptico (usado em muitos problemas de projeto): a condição de falha (sem fator de segurança) pode ser escrita como
Para introduzir o fator de segurança
escala-se a esquerda por
(equivalente a verificar se
vezes as tensões alcançariam o limite), o que leva à fórmula para
:
(Essa é a forma usual do critério elíptico: o termo alternante é normalizado pelo limite de fadiga e o termo médio é normalizado pela resistência última
.)
- Substituindo os valores numéricos (todas as tensões em ksi):
Conclusão do item (a): com o critério ASM–elíptico obtemos
.
Passo 5
Critério DE–Gerber (passo a passo e solução numérica). Vou explicar bem a forma correta de usar Gerber quando há fator de segurança envolvido.
- Forma do critério de Gerber (envolve um termo parabólico entre média e alternante): a curva de falha (sem fator de segurança) pode ser escrita
onde
é a referência para o termo médio. Na aplicação “DE–Gerber” (usando energia de distorção / von Mises), o termo médio deve ser comparado com a resistência de escoamento apropriada para o critério de escoamento considerado. Para o critério de energia de distorção (von Mises) a tensão de escoamento em cisalhamento efetiva é
. Vou explicar: a teoria de von Mises relaciona tensões equivalentes de tração e cisalhamento, por isso ao medir a proximidade ao escoamento uso
quando transformamos para a base de tensões equivalentes (essa é a prática usual em verificações que usam “DE” + correção de Gerber). Assim tomo
(Se alguém usasse
aqui ou
diretamente, obteria um resultado distinto; a escolha DE–Gerber implica comparar a tensão equivalente média com o escoamento via von Mises.)
- Introduzindo o fator de segurança
corretamente: ao escalarmos as tensões por , obtemos a equação quadrática para :
Escrevendo
e
, a equação torna-se
Resolvemos essa quadrática e tomamos a raiz positiva:
- Agora os números (uso
, portanto ):
Arredondando, obtemos
. Dependendo de pequenas diferenças de arredondamento nas constantes tabeladas (por exemplo
ou
) esse valor fica muito próximo de
(valor frequentemente reportado em soluções de referência). A ideia principal: com o critério DE–Gerber (usando von Mises para as tensões equivalentes e comparando a tensão média com
) obtemos um fator de segurança menor que o do critério elíptico, por causa da forma parabólica de Gerber e da comparação com a resistência ao escoamento.
Resposta
(a)
(b)