(Ressonância) Defina a potência média dissipada \bar{p}_{o t}(\omega) em um período T=2 \pi / \omega como
\bar{p}_{o t}(\omega)=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} p(t) d t
Calcule então \bar{p}_{o t}(\omega) para a solução estacionária do oscilador forçado com amortecimento fraco (com força externa dada por F(t)=F_{0} \cos \omega t ). Esboce o gráfico de \bar{p}_{o t}(\omega) como função da frequência \omega da força externa. Mostre que a potência máxima ocorre para \omega=\omega_{0}.
Passo 1
O enunciado pede três coisas claras:
Calcular a potência média \bar{p}_{o t}(\omega) (média em um período T=2\pi/\omega) para a solução estacionária do oscilador forçado com amortecimento, quando a força externa é F(t)=F_{0}\cos\omega t.
Esboçar o gráfico de \bar{p}_{o t}(\omega) em função de \omega.
Mostrar que a potência média é máxima para \omega=\omega_{0}.
Informações fornecidas e notações que vamos usar:
Equação do movimento do oscilador amortecido forçado: \;m x''+b x'+k x = F_{0}\cos\omega t, onde m é a massa, b o coeficiente de amortecimento viscoso, k a constante elástica.
Definição da frequência natural: \omega_{0}=\sqrt{\dfrac{k}{m}}.
A potência instantânea fornecida pela força externa é p(t)=F(t)\,v(t)=F(t)\,x'(t).
A média pedida é \displaystyle \bar{p}_{o t}(\omega)=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}p(t)\,dt.
Passo 2
A solução estacionária (regime permanente) de um oscilador forçado é uma oscilação na frequência da força, com defasagem constante. Tomamos o ansatz
x(t)=A\cos(\omega t-\varphi),
onde [A) (amplitude) e \varphi (fase) dependem de \omega. Vamos obter A e \varphi explicando cada passo.
Organize os termos em coseno e seno de \omega t. Use a identidade \cos(\omega t-\varphi)=\cos\omega t\cos\varphi+\sin\omega t\sin\varphi e \sin(\omega t-\varphi)=\sin\omega t\cos\varphi-\cos\omega t\sin\varphi. Depois de expandir e agrupar coeficientes de \cos\omega t e \sin\omega t obtemos duas equações (coeficiente de \cos\omega t e de \sin\omega t):
\begin{cases} A\bigl(k-m\omega^{2}\bigr)\cos\varphi + A b\omega\sin\varphi = F_{0},\\[6pt] A\bigl(k-m\omega^{2}\bigr)\sin\varphi - A b\omega\cos\varphi = 0. \end{cases}
A segunda equação pode ser escrita como
\tan\varphi=\dfrac{b\omega}{\,k-m\omega^{2}\,}.
Para a amplitude, elevando as duas equações ao quadrado e somando (forma clássica para eliminar \varphi\]) dá
\[A^{2}\Bigl[(k-m\omega^{2})^{2}+(b\omega)^{2}\Bigr]=F_{0}^{2},\]
logo
\[A=\dfrac{F_{0}}{\sqrt{(k-m\omega^{2})^{2}+(b\omega)^{2}}}.\]
Essas fórmulas são fundamentais: \(A descreve quanto o sistema responde à força em cada \omega; \varphi descreve a defasagem entre força e resposta.]
Passo 3
Queremos a potência média \bar{p}_{o t}(\omega)=\dfrac{1}{T}\int_{0}^{T}F(t)x'(t)\,dt. Substitua F(t)=F_{0}\cos\omega t e x'(t)=-A\omega\sin(\omega t-\varphi):
\bar{p}_{o t}(\omega)=\frac{1}{T}\int_{0}^{T} F_{0}\cos\omega t \;(-A\omega\sin(\omega t-\varphi))\,dt.
o que, usando A acima, leva exatamente à mesma expressão mostrada.
Passo 5
Agora mostramos que essa função tem máximo em \omega=\omega_{0}=\sqrt{k/m}. Para simplificar a derivação, faça a substituição u=\omega^{2} (assim \omega>0 corresponde a u>0). Escreva
Logo a potência média atinge seu extremo para \omega=\omega_{0}. Verificando que é máximo (pela forma positiva do pico ou pela segunda derivada) conclui-se que é realmente máximo.
Passo 6
Avalie \bar{p}_{o t}(\omega) em \omega=\omega_{0}. Nesse ponto k-m\omega^{2}=0, então o denominador de \bar{p}_{o t} é (b\omega_{0})^{2}. Assim
Esboço do gráfico e comentários físicos didáticos:
O gráfico de \bar{p}_{o t}(\omega) versus \omega é uma curva com um único pico centrado em \omega_{0}. A forma é parecida com uma função de Lorenztiana (resonante): baixa para \omega muito menores ou muito maiores que \omega_{0}, e máxima em \omega_{0}.
O coeficiente de amortecimento b controla a largura do pico: amortecimento pequeno (amortecimento fraco) dá um pico estreito e alto (resonância pronunciada); amortecimento grande alarga e reduz o pico.
Fisicamente, no regime estacionário a potência média fornecida pela força externa é totalmente dissipada pelo amortecedor, e a máxima potência transmitida ao sistema ocorre exatamente quando a frequência da força coincide com a frequência natural \omega_{0}.
Resposta
\displaystyle \bar{p}_{o t}(\omega)=\frac{F_{0}^{2}\,b\,\omega^{2}}{2\bigl[(k-m\omega^{2})^{2}+(b\omega)^{2}\bigr]} \displaystyle \text{A potência média é máxima para }\omega=\omega_{0}=\sqrt{\dfrac{k}{m}}êééá \displaystyle \bar{p}_{\max}=\bar{p}_{o t}(\omega_{0})=\frac{F_{0}^{2}}{2b}