(Ressonância) Defina a potência média dissipada \bar{p}_{o t}(\omega) em um período T=2 \pi / \omega como
\bar{p}_{o t}(\omega)=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} p(t) d t
Calcule então \bar{p}_{o t}(\omega) para a solução estacionária do oscilador forçado com amortecimento fraco (com força externa dada por F(t)=F_{0} \cos \omega t ). Esboce o gráfico de \bar{p}_{o t}(\omega) como função da frequência \omega da força externa. Mostre que a potência máxima ocorre para \omega=\omega_{0}.

Passo 1

O enunciado pede três coisas claras:
  • Calcular a potência média \bar{p}_{o t}(\omega) (média em um período T=2\pi/\omega) para a solução estacionária do oscilador forçado com amortecimento, quando a força externa é F(t)=F_{0}\cos\omega t.
  • Esboçar o gráfico de \bar{p}_{o t}(\omega) em função de \omega.
  • Mostrar que a potência média é máxima para \omega=\omega_{0}.
Informações fornecidas e notações que vamos usar:
  • Equação do movimento do oscilador amortecido forçado: \;m x''+b x'+k x = F_{0}\cos\omega t, onde m é a massa, b o coeficiente de amortecimento viscoso, k a constante elástica.
  • Definição da frequência natural: \omega_{0}=\sqrt{\dfrac{k}{m}}.
  • A potência instantânea fornecida pela força externa é p(t)=F(t)\,v(t)=F(t)\,x'(t).
  • A média pedida é \displaystyle \bar{p}_{o t}(\omega)=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}p(t)\,dt.

Passo 2

A solução estacionária (regime permanente) de um oscilador forçado é uma oscilação na frequência da força, com defasagem constante. Tomamos o ansatz
x(t)=A\cos(\omega t-\varphi),
onde [A) (amplitude) e \varphi (fase) dependem de \omega. Vamos obter A e \varphi explicando cada passo.
Calcule as derivadas:
x'(t)=-A\omega\sin(\omega t-\varphi), \qquad x''(t)=-A\omega^{2}\cos(\omega t-\varphi).
Substituindo na equação do movimento:
m(-A\omega^{2}\cos(\omega t-\varphi)) + b(-A\omega\sin(\omega t-\varphi)) + k(A\cos(\omega t-\varphi)) = F_{0}\cos\omega t.
Organize os termos em coseno e seno de \omega t. Use a identidade \cos(\omega t-\varphi)=\cos\omega t\cos\varphi+\sin\omega t\sin\varphi e \sin(\omega t-\varphi)=\sin\omega t\cos\varphi-\cos\omega t\sin\varphi. Depois de expandir e agrupar coeficientes de \cos\omega t e \sin\omega t obtemos duas equações (coeficiente de \cos\omega t e de \sin\omega t):
\begin{cases} A\bigl(k-m\omega^{2}\bigr)\cos\varphi + A b\omega\sin\varphi = F_{0},\\[6pt] A\bigl(k-m\omega^{2}\bigr)\sin\varphi - A b\omega\cos\varphi = 0. \end{cases}
A segunda equação pode ser escrita como
\tan\varphi=\dfrac{b\omega}{\,k-m\omega^{2}\,}.
Para a amplitude, elevando as duas equações ao quadrado e somando (forma clássica para eliminar \varphi\]) dá \[A^{2}\Bigl[(k-m\omega^{2})^{2}+(b\omega)^{2}\Bigr]=F_{0}^{2},\] logo \[A=\dfrac{F_{0}}{\sqrt{(k-m\omega^{2})^{2}+(b\omega)^{2}}}.\] Essas fórmulas são fundamentais: \(A descreve quanto o sistema responde à força em cada \omega; \varphi descreve a defasagem entre força e resposta.]

Passo 3

Queremos a potência média \bar{p}_{o t}(\omega)=\dfrac{1}{T}\int_{0}^{T}F(t)x'(t)\,dt. Substitua F(t)=F_{0}\cos\omega t e x'(t)=-A\omega\sin(\omega t-\varphi):
\bar{p}_{o t}(\omega)=\frac{1}{T}\int_{0}^{T} F_{0}\cos\omega t \;(-A\omega\sin(\omega t-\varphi))\,dt.
Factorizando constantes:
\bar{p}_{o t}(\omega) = -\frac{F_{0}A\omega}{T}\int_{0}^{T}\cos\omega t\,\sin(\omega t-\varphi)\,dt.
Use a identidade \sin(\omega t-\varphi)=\sin\omega t\cos\varphi-\cos\omega t\sin\varphi. Então o integrando vira
\cos\omega t\sin(\omega t-\varphi)=\cos\omega t\sin\omega t\cos\varphi - \cos^{2}\omega t\sin\varphi.
A média em um período de \cos\omega t\sin\omega t é zero, e a média de \cos^{2}\omega t é 1/2. Assim
\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\cos\omega t\sin(\omega t-\varphi)\,dt = -\frac{1}{2}\sin\varphi.
(Observe o sinal: na identidade apareceu -\cos^{2}\omega t\sin\varphi, daí o resultado -\tfrac{1}{2}\sin\varphi.)
Voltando:
\bar{p}_{o t}(\omega) = -F_{0}A\omega\left(-\frac{1}{2}\sin\varphi\right)=\frac{F_{0}A\omega}{2}\sin\varphi.

Passo 4

Agora substituímos A e \sin\varphi em função dos parâmetros do sistema. Lembre que
A=\dfrac{F_{0}}{\sqrt{(k-m\omega^{2})^{2}+(b\omega)^{2}}}, \qquad \sin\varphi=\dfrac{b\omega}{\sqrt{(k-m\omega^{2})^{2}+(b\omega)^{2}}}.
Multiplicando:
F_{0}A\sin\varphi = \dfrac{F_{0}^{2}\,b\omega}{(k-m\omega^{2})^{2}+(b\omega)^{2}}.
Portanto a potência média fica
\boxed{\displaystyle \bar{p}_{o t}(\omega)=\frac{F_{0}^{2}\,b\,\omega^{2}}{2\bigl[(k-m\omega^{2})^{2}+(b\omega)^{2}\bigr]}.}
Uma observação útil (cheque físico): também se pode escrever a potência média como a potência dissipada pelo amortecedor
\bar{p}_{o t}(\omega)=b\;\overline{(x')^{2}}=\frac{b}{2}A^{2}\omega^{2},
o que, usando A acima, leva exatamente à mesma expressão mostrada.

Passo 5

Agora mostramos que essa função tem máximo em \omega=\omega_{0}=\sqrt{k/m}. Para simplificar a derivação, faça a substituição u=\omega^{2} (assim \omega>0 corresponde a u>0). Escreva
\bar{p}(u)=C\;\frac{b\,u}{(k-mu)^{2}+b^{2}u}, \qquad C=\frac{F_{0}^{2}}{2}.
Para achar extremos calcule a derivada em relação a u. Como C e b são positivos, basta estudar o sinal de
S(u)=\frac{b\,u}{(k-mu)^{2}+b^{2}u}.
A condição \dfrac{dS}{du}=0 é equivalente a
\Bigl[(k-mu)^{2}+b^{2}u\Bigr] - u\Bigl(-2m(k-mu)+b^{2}\Bigr)=0.
Simplificando os termos (algumas linhas de álgebra):
(k-mu)^{2}+b^{2}u +2m u(k-mu)-b^{2}u = (k-mu)^{2}+2m u(k-mu) = (k-mu)(k+mu).
Portanto a condição torna-se
(k-mu)(k+mu)=0.
Desprezando a solução negativa u=-k/m, ficamos com
u=\frac{k}{m},
ou seja
\boxed{\omega=\sqrt{u}=\sqrt{\dfrac{k}{m}}=\omega_{0}.}
Logo a potência média atinge seu extremo para \omega=\omega_{0}. Verificando que é máximo (pela forma positiva do pico ou pela segunda derivada) conclui-se que é realmente máximo.

Passo 6

Avalie \bar{p}_{o t}(\omega) em \omega=\omega_{0}. Nesse ponto k-m\omega^{2}=0, então o denominador de \bar{p}_{o t} é (b\omega_{0})^{2}. Assim
\bar{p}_{o t}(\omega_{0})=\frac{F_{0}^{2}b\omega_{0}^{2}}{2(b^{2}\omega_{0}^{2})}=\frac{F_{0}^{2}}{2b}.
Portanto o valor máximo da potência média é
\boxed{\displaystyle \bar{p}_{\max}=\frac{F_{0}^{2}}{2b}.}

Passo 7

Esboço do gráfico e comentários físicos didáticos:
  • O gráfico de \bar{p}_{o t}(\omega) versus \omega é uma curva com um único pico centrado em \omega_{0}. A forma é parecida com uma função de Lorenztiana (resonante): baixa para \omega muito menores ou muito maiores que \omega_{0}, e máxima em \omega_{0}.
  • O coeficiente de amortecimento b controla a largura do pico: amortecimento pequeno (amortecimento fraco) dá um pico estreito e alto (resonância pronunciada); amortecimento grande alarga e reduz o pico.
  • Fisicamente, no regime estacionário a potência média fornecida pela força externa é totalmente dissipada pelo amortecedor, e a máxima potência transmitida ao sistema ocorre exatamente quando a frequência da força coincide com a frequência natural \omega_{0}.

Resposta

\displaystyle \bar{p}_{o t}(\omega)=\frac{F_{0}^{2}\,b\,\omega^{2}}{2\bigl[(k-m\omega^{2})^{2}+(b\omega)^{2}\bigr]}
\displaystyle \text{A potência média é máxima para }\omega=\omega_{0}=\sqrt{\dfrac{k}{m}}êééá
\displaystyle \bar{p}_{\max}=\bar{p}_{o t}(\omega_{0})=\frac{F_{0}^{2}}{2b}

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