Deduza a equação de movimento para o MRU pelo método da energia.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos de informação:
  • Pede-se deduzir a equação do movimento para o MRU (Movimento Retilíneo Uniforme) usando o método da energia.
  • Informações implícitas que usamos: a partícula tem massa constante m; no MRU a velocidade é constante (isso é o que vamos justificar com a energia); assumimos movimento ao longo de uma reta (1D) ou, de modo equivalente, vetorialmente em linha reta.
  • O objetivo final é obter a expressão da posição em função do tempo, com as condições iniciais usuais x(0)=x_0 e v(0)=v_0.

Passo 2

Conceitos essenciais (explicados devagar e sem pular etapas):
  • Energia cinética: para uma partícula de massa m que se move com velocidade v a energia cinética é definida por
K=\tfrac{1}{2} m v^{2}.
Aqui K é a energia cinética (um escalar), m é a massa e v é a velocidade escalar (no caso 1D) ou o módulo da velocidade vetorial.
  • Trabalho de uma força resultante: se a força resultante sobre a partícula for F (no sentido da reta), o trabalho infinitesimal dessa força quando a partícula se desloca um elemento dx é
\delta W = F\,dx.
  • Teorema trabalho-energia (versão elementar e usada aqui): a variação da energia cinética entre dois pontos é igual ao trabalho da força resultante entre essas posições. Em forma diferencial, pode-se escrever
dK = F\,dx.
Vou mostrar rapidamente de onde vem essa relação para você entender bem (é curto e útil).
Derivação curta do teorema trabalho-energia:
  1. A segunda lei de Newton em 1D é F = m a, onde a = dv/dt.
  2. Multiplicando ambos os lados por v (velocidade) dá F v = m a v.
  3. Como a v = \dfrac{dv}{dt}\,v = \dfrac{d}{dt}\!\bigl(\tfrac{1}{2}v^{2}\bigr), obtemos
F v = m \dfrac{d}{dt}\!\bigl(\tfrac{1}{2}v^{2}\bigr)=\dfrac{dK}{dt}.
  1. Multiplicando ambos os lados por dt e lembrando que v\,dt = dx, chegamos em
F\,dx = dK,
que é exatamente o teorema trabalho-energia em forma diferencial. Integrando entre duas posições obtemos \Delta K = W_{\text{res}} (variação de energia igual ao trabalho resultante).

Passo 3

Aplicação ao MRU usando energia:
  • No MRU a ideia é que não há variação de energia cinética ao longo do movimento. Em termos do teorema do trabalho-energia, isso corresponde a que o trabalho feito pela força resultante entre quaisquer dois pontos do movimento é nulo:
W_{\text{res}}=0.
  • Pelo teorema do trabalho-energia, W_{\text{res}}= \Delta K. Então
\Delta K = 0 \quad\Rightarrow\quad K=\text{constante}.
  • Escrevendo K=\tfrac{1}{2}m v^{2} e usando que m é constante, a igualdade K= constante implica
\tfrac{1}{2} m v^{2} = \text{constante}
e, diferenciando ou raciocinando diretamente, isso dá
m v\,dv = 0 \quad\Rightarrow\quad v\,dv=0.
  • Como estamos interessados em um movimento com velocidade possivelmente não nula, a implicação prática é dv=0. Ou seja,
\boxed{\dfrac{dv}{dt}=0},
isto é, a aceleração é zero e a velocidade é constante no tempo:
v(t)=v_0,
onde v_0 é a velocidade inicial v(0).
Observação importante e didática: a energia cinética dá o módulo da velocidade; o argumento acima mostra que o módulo não muda. A condição física de ausência de trabalho resultante em todo deslocamento (ou força resultante nula) garante que a velocidade vetorial também se mantém constante (direção e sentido), pois uma mudança de sentido exigiria passar por v=0 e aí a energia mudaria localmente se houvesse forças agindo. Em resumo: v constante com sinal incluído (vetor constante) quando não há força resultante.

Passo 4

Integrando para obter a posição (a equação do movimento):
  • A velocidade é definida como derivada da posição em relação ao tempo. Em 1D:
v(t)=\dfrac{dx}{dt}.
  • Se v(t)=v_0 (constante), basta integrar em t:
\dfrac{dx}{dt}=v_0 \quad\Rightarrow\quad dx = v_0\,dt.
  • Integrando de t=0 até t e de x=x_0 até x(t):
\int_{x_0}^{x(t)} dx = \int_{0}^{t} v_0\,dt'
(observe que na integral do tempo usei t' como variável de integração para não confundir).
  • Isso dá
x(t)-x_0 = v_0\,t.
  • Portanto a equação do movimento é
x(t)=x_0+v_0\,t,
que é a equação clássica do MRU. Em forma vetorial, para movimento retilíneo uniforme com posição inicial \vec r_0 e velocidade constante \vec v,
\vec r(t)=\vec r_0+\vec v\,t.

Passo 5

Resumo interpretativo e exemplo simples para fixar:
  • Resumo rápido: aplicar o teorema trabalho-energia mostrou que se o trabalho da força resultante é zero então a energia cinética não muda; isso implica v= constante; integrar dx/dt=v x(t)=x_0+v t.
  • Exemplo mental: um bloco sobre superfície sem atrito, inicialmente com velocidade v_0. As forças (peso e normal) fazem trabalho nulo na direção do movimento e não há força de atrito; logo trabalho resultante na direção do movimento é zero, K não muda, o bloco segue com velocidade constante e sua posição satisfaz x(t)=x_0+v_0 t. Simples e direto.

Resposta

\vec r(t)=\vec r_{0}+\vec v\,t
x(t)=x_{0}+v_{0}\,t

Exercícios relacionados