Deduza a equação de movimento para o MRU pelo método da energia.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos de informação:
- Pede-se deduzir a equação do movimento para o MRU (Movimento Retilíneo Uniforme) usando o método da energia.
- Informações implícitas que usamos: a partícula tem massa constante
; no MRU a velocidade é constante (isso é o que vamos justificar com a energia); assumimos movimento ao longo de uma reta (1D) ou, de modo equivalente, vetorialmente em linha reta. - O objetivo final é obter a expressão da posição em função do tempo, com as condições iniciais usuais
e .
Passo 2
Conceitos essenciais (explicados devagar e sem pular etapas):
- Energia cinética: para uma partícula de massa
que se move com velocidade a energia cinética é definida por
Aqui
é a energia cinética (um escalar),
é a massa e
é a velocidade escalar (no caso 1D) ou o módulo da velocidade vetorial.
- Trabalho de uma força resultante: se a força resultante sobre a partícula for
(no sentido da reta), o trabalho infinitesimal dessa força quando a partícula se desloca um elemento é
- Teorema trabalho-energia (versão elementar e usada aqui): a variação da energia cinética entre dois pontos é igual ao trabalho da força resultante entre essas posições. Em forma diferencial, pode-se escrever
Vou mostrar rapidamente de onde vem essa relação para você entender bem (é curto e útil).
Derivação curta do teorema trabalho-energia:
Derivação curta do teorema trabalho-energia:
- A segunda lei de Newton em 1D é
, onde . - Multiplicando ambos os lados por
(velocidade) dá . - Como
, obtemos
- Multiplicando ambos os lados por
e lembrando que , chegamos em
que é exatamente o teorema trabalho-energia em forma diferencial. Integrando entre duas posições obtemos
(variação de energia igual ao trabalho resultante).
Passo 3
Aplicação ao MRU usando energia:
- No MRU a ideia é que não há variação de energia cinética ao longo do movimento. Em termos do teorema do trabalho-energia, isso corresponde a que o trabalho feito pela força resultante entre quaisquer dois pontos do movimento é nulo:
- Pelo teorema do trabalho-energia,
. Então
- Escrevendo
e usando que é constante, a igualdade constante implica
e, diferenciando ou raciocinando diretamente, isso dá
- Como estamos interessados em um movimento com velocidade possivelmente não nula, a implicação prática é
. Ou seja,
isto é, a aceleração é zero e a velocidade é constante no tempo:
onde
é a velocidade inicial
.
Observação importante e didática: a energia cinética dá o módulo da velocidade; o argumento acima mostra que o módulo não muda. A condição física de ausência de trabalho resultante em todo deslocamento (ou força resultante nula) garante que a velocidade vetorial também se mantém constante (direção e sentido), pois uma mudança de sentido exigiria passar por
e aí a energia mudaria localmente se houvesse forças agindo. Em resumo:
constante com sinal incluído (vetor constante) quando não há força resultante.
Passo 4
Integrando para obter a posição (a equação do movimento):
- A velocidade é definida como derivada da posição em relação ao tempo. Em 1D:
- Se
(constante), basta integrar em :
- Integrando de
até e de até :
(observe que na integral do tempo usei
como variável de integração para não confundir).
- Isso dá
- Portanto a equação do movimento é
que é a equação clássica do MRU. Em forma vetorial, para movimento retilíneo uniforme com posição inicial
e velocidade constante
,
Passo 5
Resumo interpretativo e exemplo simples para fixar:
- Resumo rápido: aplicar o teorema trabalho-energia mostrou que se o trabalho da força resultante é zero então a energia cinética não muda; isso implica
constante; integrar dá . - Exemplo mental: um bloco sobre superfície sem atrito, inicialmente com velocidade
. As forças (peso e normal) fazem trabalho nulo na direção do movimento e não há força de atrito; logo trabalho resultante na direção do movimento é zero, K não muda, o bloco segue com velocidade constante e sua posição satisfaz . Simples e direto.