O Restaurante Universitário registra, em média, 2 casos de intoxicação alimentar por semestre. Qual a probabilidade de, em um semestre:
a) Não ocorrer nenhum caso?
b) Ocorrem 3 ou mais casos?
a) Não ocorrer nenhum caso?
b) Ocorrem 3 ou mais casos?
Passo 1
O enunciado dá a informação e pede duas probabilidades. Informações fornecidas:
- A média de casos de intoxicação no Restaurante Universitário é de
casos por semestre.
O que o enunciado pede: - (a) A probabilidade de não ocorrer nenhum caso num semestre.
- (b) A probabilidade de ocorrerem
ou mais casos num semestre.
Passo 2
Escolha do modelo e definição da variável aleatória (explicação didática).
- Quando contamos o número de ocorrências de um evento raro em um intervalo de tempo fixo (aqui: num semestre) e só sabemos a média dessas ocorrências, o modelo apropriado costuma ser a distribuição de Poisson. Não é preciso decorar — basta lembrar: Poisson modela contagens por intervalo quando os eventos são independentes e a média por intervalo é conhecida.
- Definir a variável aleatória: seja
o número de casos de intoxicação num semestre. - A distribuição de Poisson é descrita pela seguinte função de massa de probabilidade:
onde:
-
é a média esperada de ocorrências no intervalo (aqui ); -
é um número inteiro não negativo ( ); -
é o fatorial de (por exemplo, , , , ); -
é a base dos logaritmos naturais (aproximadamente ). - Neste problema temos
. Vou usar essa fórmula para calcular as probabilidades pedidas.
Passo 3
Cálculo da probabilidade do item (a): nenhuma ocorrência (
).
- Substituir
e na fórmula:
- Calcular os termos:
-
, -
.
-
- Logo:
Passo 4
Aproximação numérica da parte (a) (como obter um número para usar na prova).
- Usar
, então e . - Portanto:
Passo 5
Cálculo da probabilidade do item (b):
.
- É mais fácil usar o complemento:
- Já temos
. Calcular e pela fórmula de Poisson:
- Somando:
- Logo:
Passo 6
Aproximação numérica da parte (b).
- Usando
:
Passo 7
Interpretação rápida (motivação): os resultados dizem que é relativamente pouco provável não ter nenhum caso (
), e a chance de ter 3 ou mais casos é cerca de
. Isso faz sentido com média
: valores próximos de
são os mais prováveis, caindo para os extremos.
Resposta
(a)
(b)
(b)