O Restaurante Universitário registra, em média, 2 casos de intoxicação alimentar por semestre. Qual a probabilidade de, em um semestre:
a) Não ocorrer nenhum caso?
b) Ocorrem 3 ou mais casos?

Passo 1

O enunciado dá a informação e pede duas probabilidades. Informações fornecidas:
  • A média de casos de intoxicação no Restaurante Universitário é de \,2 casos por semestre.
    O que o enunciado pede:
  • (a) A probabilidade de não ocorrer nenhum caso num semestre.
  • (b) A probabilidade de ocorrerem 3 ou mais casos num semestre.

Passo 2

Escolha do modelo e definição da variável aleatória (explicação didática).
  • Quando contamos o número de ocorrências de um evento raro em um intervalo de tempo fixo (aqui: num semestre) e só sabemos a média dessas ocorrências, o modelo apropriado costuma ser a distribuição de Poisson. Não é preciso decorar — basta lembrar: Poisson modela contagens por intervalo quando os eventos são independentes e a média por intervalo é conhecida.
  • Definir a variável aleatória: seja X o número de casos de intoxicação num semestre.
  • A distribuição de Poisson é descrita pela seguinte função de massa de probabilidade:
P(X=k)=\frac{\lambda^{k} e^{-\lambda}}{k!},
onde:
  • \lambda é a média esperada de ocorrências no intervalo (aqui \lambda=2);
  • k é um número inteiro não negativo ( k=0,1,2,\dots);
  • k! é o fatorial de k (por exemplo, 0!=1, 1!=1, 2!=2, 3!=6);
  • e é a base dos logaritmos naturais (aproximadamente 2,71828).
  • Neste problema temos \lambda=2. Vou usar essa fórmula para calcular as probabilidades pedidas.

Passo 3

Cálculo da probabilidade do item (a): nenhuma ocorrência ( k=0).
  • Substituir \lambda=2 e k=0 na fórmula:
P(X=0)=\frac{2^{0} e^{-2}}{0!}.
  • Calcular os termos:
    • 2^{0}=1,
    • 0!=1.
  • Logo:
P(X=0)=e^{-2}.

Passo 4

Aproximação numérica da parte (a) (como obter um número para usar na prova).
  • Usar e\approx2{,}71828, então e^{2}\approx 7{,}38906 e e^{-2}=1/e^{2}.
  • Portanto:
P(X=0)=e^{-2}\approx 0{,}135335\approx 0{,}1353.

Passo 5

Cálculo da probabilidade do item (b): P(X\ge3).
  • É mais fácil usar o complemento:
P(X\ge3)=1-P(X\le2)=1-\big(P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)\big).
  • Já temos P(X=0)=e^{-2}. Calcular P(X=1) e P(X=2) pela fórmula de Poisson:
P(X=1)=\frac{2^{1}e^{-2}}{1!}=2e^{-2},
P(X=2)=\frac{2^{2}e^{-2}}{2!}=\frac{4e^{-2}}{2}=2e^{-2}.
  • Somando:
P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=e^{-2}+2e^{-2}+2e^{-2}=5e^{-2}.
  • Logo:
P(X\ge3)=1-5e^{-2}.

Passo 6

Aproximação numérica da parte (b).
  • Usando e^{-2}\approx0{,}135335:
5e^{-2}\approx5\cdot0{,}135335\approx0{,}676675,
P(X\ge3)=1-5e^{-2}\approx1-0{,}676675\approx0{,}323325\approx0{,}3233.

Passo 7

Interpretação rápida (motivação): os resultados dizem que é relativamente pouco provável não ter nenhum caso ( \approx13{,}5\%), e a chance de ter 3 ou mais casos é cerca de 32{,}3\%. Isso faz sentido com média \lambda=2: valores próximos de 2 são os mais prováveis, caindo para os extremos.

Resposta

(a) P(X=0)=e^{-2}\approx0{,}1353
(b) P(X\ge3)=1-5e^{-2}\approx0{,}3233

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