Na clínica-escola da UFAC, chegam em média 5 estudantes por semana com sintomas de alergia. Qual a probabilidade de:
a) Chegarem exatamente 7 estudantes em uma semana?
b) Chegarem no máximo 4 estudantes?

Passo 1

O enunciado dá uma taxa média de chegadas de estudantes com sintomas de alergia de \lambda=5 estudantes por semana. As perguntas são:
a) Qual a probabilidade de chegarem exatamente 7 estudantes em uma semana?
b) Qual a probabilidade de chegarem no máximo 4 estudantes em uma semana (ou seja, X\le4)?
Informações relevantes fornecidas:
  • Taxa média por semana: \lambda=5.
  • Quer-se probabilidades relacionadas ao número de chegadas em uma semana (variável discreta).

Passo 2

Qual o modelo apropriado e a fórmula?
Quando temos uma média de ocorrências por intervalo de tempo (aqui, por semana), com ocorrências raras e independentes, o modelo natural é a distribuição de Poisson. A fórmula da probabilidade de exatamente k ocorrências é:
P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!}
Explicando cada símbolo:
  • X é a variável aleatória que conta o número de estudantes que chegam na semana.
  • \lambda é a média (esperança) de chegadas por semana; aqui \lambda=5.
  • k é o número específico de chegadas que queremos a probabilidade.
  • k! é o fatorial de k, definido como k!=k\cdot(k-1)\cdots 2\cdot1 (e 0!=1).
  • e é a base do logaritmo natural (aprox. 2,71828\ldots).
Uma técnica prática para calcular as probabilidades sem ter que avaliar potências e fatoriais enormes é usar a relação de recorrência
P_k=\frac{\lambda}{k}P_{k-1},
onde P_k denota P(X=k) e P_0=e^{-\lambda}. Essa relação permite calcular P_1,P_2,\dots de forma sequencial.

Passo 3

Cálculo de P(X=7) (parte a). Usando a fórmula direta:
P(X=7)=e^{-5}\frac{5^{7}}{7!}.
Vamos calcular passo a passo (mostrar valores úteis):
5^{7}=78\,125,\qquad 7!=5\,040.
Logo a fração é
\frac{5^{7}}{7!}=\frac{78\,125}{5\,040}\approx 15,50099206349.
Multiplicando por e^{-5} (onde e^{-5}\approx 0,006737946999085467):
P(X=7)\approx 0,006737946999085467\times 15,50099206349\approx 0,10444486295705329.
Para fins práticos na prova é mais simples usar a recorrência a partir de P_0. Vou mostrar também essa sequência (arredondando razoavelmente cada termo):
P_0=e^{-5}\approx 0,006737947,
P_1=\frac{5}{1}P_0\approx 0,033689735,
P_2=\frac{5}{2}P_1\approx 0,084224337,
P_3=\frac{5}{3}P_2\approx 0,140373896,
P_4=\frac{5}{4}P_3\approx 0,175467370,
P_5=\frac{5}{5}P_4\approx 0,175467370,
P_6=\frac{5}{6}P_5\approx 0,146222808,
P_7=\frac{5}{7}P_6\approx 0,104444863.
O resultado de P_7 coincide com o cálculo direto acima.

Passo 4

Interpretação didática do que foi feito para (a):
  • Primeiro escolheu-se o modelo (Poisson) porque temos uma taxa média por intervalo fixo.
  • Em seguida aplicou-se a fórmula ou a recorrência prática.
  • A recorrência é útil em prova porque só envolve multiplicações e divisões simples, sem precisar calcular grandes potências ou fatoriais diretamente.

Passo 5

Cálculo de P(X\le4) (parte b). Por definição:
P(X\le4)=\sum_{k=0}^{4}P(X=k)=P_0+P_1+P_2+P_3+P_4.
Já calculamos esses termos no passo anterior (usando a recorrência). Somando-os:
P_0\approx 0,006737947,
P_1\approx 0,033689735,
P_2\approx 0,084224337,
P_3\approx 0,140373896,
P_4\approx 0,175467370.
Somando:
P(X\le4)\approx 0,006737947+0,033689735+0,084224337+0,140373896+0,175467370=0,440493285.
Observação prática: outra forma é usar o complemento \,P(X\le4)=1-P(X\ge5)\, e somar de 5 em diante, mas somar de 0 a 4 é mais direto quando já se calcula P_0,P_1,\dots,P_4.

Passo 6

Resumo pedagógico rápido (como lembrar na prova):
  • Identifique \lambda. Se for “média por intervalo” e eventos independentes, use Poisson.
  • Use \,P(X=k)=e^{-\lambda}\dfrac{\lambda^{k}}{k!}\, para uma probabilidade pontual.
  • Para somas cumulativas, compute sequencialmente P_0 e aplique P_k=(\lambda/k)P_{k-1} para evitar potências/fatoriais grandes.
  • Arredonde só no final ou mantenha 4–6 casas decimais para respostas.
Força aí — já tem esse tipo de conta decorada, e a recorrência salva tempo na prova!

Resposta

a) 0,10444486295705329
b) 0,4404932849858802

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