Na clínica-escola da UFAC, chegam em média 5 estudantes por semana com sintomas de alergia. Qual a probabilidade de:
a) Chegarem exatamente 7 estudantes em uma semana?
b) Chegarem no máximo 4 estudantes?
a) Chegarem exatamente 7 estudantes em uma semana?
b) Chegarem no máximo 4 estudantes?
Passo 1
O enunciado dá uma taxa média de chegadas de estudantes com sintomas de alergia de
estudantes por semana. As perguntas são:
a) Qual a probabilidade de chegarem exatamente 7 estudantes em uma semana?
b) Qual a probabilidade de chegarem no máximo 4 estudantes em uma semana (ou seja, )?
a) Qual a probabilidade de chegarem exatamente 7 estudantes em uma semana?
b) Qual a probabilidade de chegarem no máximo 4 estudantes em uma semana (ou seja,
Informações relevantes fornecidas:
- Taxa média por semana:
. - Quer-se probabilidades relacionadas ao número de chegadas em uma semana (variável discreta).
Passo 2
Qual o modelo apropriado e a fórmula?
Quando temos uma média de ocorrências por intervalo de tempo (aqui, por semana), com ocorrências raras e independentes, o modelo natural é a distribuição de Poisson. A fórmula da probabilidade de exatamente ocorrências é:
Quando temos uma média de ocorrências por intervalo de tempo (aqui, por semana), com ocorrências raras e independentes, o modelo natural é a distribuição de Poisson. A fórmula da probabilidade de exatamente
Explicando cada símbolo:
-
é a variável aleatória que conta o número de estudantes que chegam na semana. -
é a média (esperança) de chegadas por semana; aqui . -
é o número específico de chegadas que queremos a probabilidade. -
é o fatorial de , definido como (e ). -
é a base do logaritmo natural (aprox. ).
Uma técnica prática para calcular as probabilidades sem ter que avaliar potências e fatoriais enormes é usar a relação de recorrência
onde
denota
e
. Essa relação permite calcular
de forma sequencial.
Passo 3
Cálculo de
(parte a). Usando a fórmula direta:
Vamos calcular passo a passo (mostrar valores úteis):
Logo a fração é
Multiplicando por
(onde
):
Para fins práticos na prova é mais simples usar a recorrência a partir de
. Vou mostrar também essa sequência (arredondando razoavelmente cada termo):
O resultado de
coincide com o cálculo direto acima.
Passo 4
Interpretação didática do que foi feito para (a):
- Primeiro escolheu-se o modelo (Poisson) porque temos uma taxa média por intervalo fixo.
- Em seguida aplicou-se a fórmula ou a recorrência prática.
- A recorrência é útil em prova porque só envolve multiplicações e divisões simples, sem precisar calcular grandes potências ou fatoriais diretamente.
Passo 5
Cálculo de
(parte b). Por definição:
Já calculamos esses termos no passo anterior (usando a recorrência). Somando-os:
Somando:
Observação prática: outra forma é usar o complemento
e somar de
em diante, mas somar de
a
é mais direto quando já se calcula
.
Passo 6
Resumo pedagógico rápido (como lembrar na prova):
- Identifique
. Se for “média por intervalo” e eventos independentes, use Poisson. - Use
para uma probabilidade pontual. - Para somas cumulativas, compute sequencialmente
e aplique para evitar potências/fatoriais grandes. - Arredonde só no final ou mantenha 4–6 casas decimais para respostas.
Força aí — já tem esse tipo de conta decorada, e a recorrência salva tempo na prova!
Resposta
a)
b)
b)