Resultado da seguinte expressão numérica:
\left(1+\sqrt{5+\sqrt{5-\sqrt{1}}+2^{1}}\right) \cdot \frac{1}{2^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o resultado da expressão
\left(1+\sqrt{5+\sqrt{5-\sqrt{1}}+2^{1}}\right)\cdot\frac{1}{2^{2}}.
Informações e elementos dados:
  • Há números: 1, 5.
  • Há potências: 2^{1} e 2^{2}.
  • Há radicais aninhados: \sqrt{1}, \sqrt{5-\sqrt{1}} e \sqrt{5+\sqrt{5-\sqrt{1}}+2^{1}}.
  • A operação final é multiplicar por \dfrac{1}{2^{2}}.
    O objetivo é simplificar essa expressão numérica e encontrar um único número como resultado.

Passo 2

Relembrando a ordem de operações (o que fazer primeiro) de modo prático:
  • Primeiro avaliar expressões dentro de parênteses começando pelo que estiver mais interno.
  • Potências e radicais (a raiz quadrada é equivalente à potência de expoente \tfrac{1}{2}).
  • Depois multiplicações/divisões e por fim somas/subtrações.
    Aqui temos radicais aninhados, então vamos calcular de dentro para fora: primeiro \sqrt{1}, depois \sqrt{5-\sqrt{1}}, então o termo dentro da raiz maior, e assim por diante. Também podemos simplificar potências simples como 2^{1} e 2^{2} desde já.

Passo 3

Calcular \sqrt{1}.
  • A raiz quadrada de 1 é o número que, ao quadrado, dá 1. Esse número é 1.
\sqrt{1}=1.

Passo 4

Substituir o valor de \sqrt{1} em \sqrt{5-\sqrt{1}} e calcular.
\sqrt{5-\sqrt{1}}=\sqrt{5-1}=\sqrt{4}.
Agora calcular \sqrt{4}: a raiz quadrada de 4 é 2.
\sqrt{5-\sqrt{1}}=2.

Passo 5

Calcular a potência simples 2^{1}.
  • Qualquer número elevado a 1 é ele mesmo, então
2^{1}=2.

Passo 6

Agora calcular a raiz maior, substituindo os resultados obtidos:
\sqrt{5+\sqrt{5-\sqrt{1}}+2^{1}}=\sqrt{5+2+2}=\sqrt{9}.
Calcular \sqrt{9}: a raiz quadrada de 9 é 3.
\sqrt{5+\sqrt{5-\sqrt{1}}+2^{1}}=3.

Passo 7

Substituir esse valor na expressão externa \left(1+\text{(a raiz maior)}\right):
1+\sqrt{5+\sqrt{5-\sqrt{1}}+2^{1}}=1+3=4.

Passo 8

Calcular o fator multiplicativo \dfrac{1}{2^{2}}.
2^{2}=4,\qquad \frac{1}{2^{2}}=\frac{1}{4}.

Passo 9

Multiplicar os resultados:
4\cdot\frac{1}{4}=1.
Aqui ocorre uma simplificação direta: o 4 no numerador cancela com o 4 do denominador, sobrando 1.

Resposta

1

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