Questão 6. Seja o número x=123,456789 e sua aproximação \bar{x}=1,24. Exiba o erro absoluto e o erro relativo.

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados:
  • O número exato x é x=123,456789.
  • A aproximação é \bar{x}=1,24.
O enunciado pede:
  • Exibir o erro absoluto entre x e \bar{x}.
  • Exibir o erro relativo entre x e \bar{x}.

Passo 2

Definições e fórmulas que vamos usar (explicadas de maneira bem simples):
  • Erro absoluto: é a diferença em magnitude entre o valor exato e a aproximação. Fórmula:
\text{erro absoluto} = |x-\bar{x}|.
Aqui x é o valor verdadeiro (ou mais preciso) e \bar{x} é a aproximação. O símbolo |\cdot| significa valor absoluto (ou seja, sem sinal).
  • Erro relativo: é o erro absoluto dividido pelo tamanho do valor verdadeiro, mede o erro em porcentagem do valor. Fórmula:
\text{erro relativo} = \frac{|x-\bar{x}|}{|x|}.
Isso dá uma medida adimensional; para expressão em porcentagem multiplica-se por 100\%.

Passo 3

Calcular o erro absoluto passo a passo:
  • Primeiro igualo o número de casas decimais para fazer a subtração com calma: \bar{x}=1,24 pode ser escrito como \bar{x}=1,240000 (adicionei zeros à direita).
  • Agora faço a subtração coluna a coluna:
|x-\bar{x}| = |\,123,456789 - 1,240000\,|.
  • Subtraindo término a término:
123,456789 - 1,240000 = 122,216789.
Portanto o erro absoluto é
|x-\bar{x}| = 122,216789.

Passo 4

Calcular o erro relativo aproveitando uma simplificação conveniente:
  • Escrevendo os números como frações com denominador 10^{6} (porque usamos até 6 casas decimais):
x=\frac{123456789}{10^{6}},\qquad \bar{x}=\frac{1240000}{10^{6}}.
  • Assim o erro absoluto em forma de fração é
|x-\bar{x}|=\frac{123456789-1240000}{10^{6}}=\frac{122216789}{10^{6}}.
  • O erro relativo fica
\frac{|x-\bar{x}|}{|x|}=\frac{\dfrac{122216789}{10^{6}}}{\dfrac{123456789}{10^{6}}}=\frac{122216789}{123456789}.
Essa fração é a expressão exata do erro relativo.

Passo 5

Obter uma aproximação decimal e a forma percentual:
  • Avaliando numericamente a fração \dfrac{122216789}{123456789} temos, aproximando:
\frac{122216789}{123456789}\approx 0,989956.
  • Em porcentagem:
0,989956 \times 100\% \approx 98,9956\%.

Resposta

|x-\bar{x}| = 122,216789
\dfrac{|x-\bar{x}|}{|x|} = \dfrac{122216789}{123456789} \approx 0,989956 \approx 98,9956\%

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