Questão 5. Seja o número x=1,23456789 e sua aproximação \bar{x}=1,13. Exiba o erro absoluto e o erro relativo.

Passo 1

O enunciado fornece os números e pede duas coisas. Dados (pegos do enunciado):
  • x = 1,23456789
  • \bar{x} = 1,13
Perguntas:
  • Exibir o erro absoluto entre x e \bar{x}.
  • Exibir o erro relativo entre x e \bar{x}.

Passo 2

Definições (aula rápida para entender o que vamos calcular).
  • Erro absoluto: é a diferença, em valor absoluto, entre o valor verdadeiro e a aproximação. Em fórmula:
E_a = |x - \bar{x}|.
Aqui x é o valor verdadeiro (ou referência) e \bar{x} é a aproximação.
  • Erro relativo: é o erro absoluto dividido pelo valor verdadeiro, dá uma medida adimensional que indica a fração do erro em relação ao tamanho do valor. Em fórmula:
E_r = \frac{E_a}{|x|}.
Normalmente expressa-se também em percentagem multiplicando por 100\%.

Passo 3

Cálculo do erro absoluto passo a passo (mostrando a subtração alinhada).
Primeiro igualo a quantidade de casas decimais da aproximação escrevendo zeros:
\bar{x} = 1,13 = 1,13000000.
Agora subtraio:
x - \bar{x} = 1,23456789 - 1,13000000 = 0,10456789.
Como o erro absoluto é o valor absoluto dessa diferença:
E_a = |x - \bar{x}| = 0,10456789.

Passo 4

Cálculo do erro relativo com explicação de como obter a divisão sem pular passos.
A fórmula é
E_r = \frac{E_a}{|x|} = \frac{0,10456789}{1,23456789}.
Para achar um valor decimal aproximado sem usar calculadora, podemos buscar um número q tal que 1,23456789\cdot q \approx 0,10456789. Vamos testar q=0,0847 (palpite informado) e checar multiplicando em partes:
1,23456789\cdot 0,0847 = 1,23456789\cdot(0,08+0,0047).
Calculemos as duas parcelas separadamente:
1,23456789\cdot 0,08 = 0,0987654312,
1,23456789\cdot 0,0047 = \frac{1,23456789\cdot 47}{10000} = \frac{58,02469083}{10000} = 0,005802469083.
Somando:
0,0987654312 + 0,005802469083 = 0,104567900283.
O resultado da multiplicação fica muito próximo de 0,10456789; a diferença é da ordem de 10^{-8}. Isso mostra que
E_r \approx 0,0847.
Em percentagem:
E_r \approx 0,0847 \times 100\% = 8,47\%.

Passo 5

Resumo final dos valores calculados (pronto para conferir rapidamente na prova):
  • Erro absoluto: E_a = 0,10456789.
  • Erro relativo (aproximação): E_r \approx 0,0847 (ou seja, aproximadamente 8,47\%).

Resposta

E_a = 0,10456789\n
E_r \approx 0,0847 \;(\approx 8,47\%)

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