Verifique se a função f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{y^{2} \operatorname{sen}(x) \cos (y)}{x^{2}+y^{2}}, & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0, & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{array}\right. é contínua em ( 0,0 ).
é contínua no ponto (0,0). Informações relevantes dadas:
O valor da função em (0,0) é f(0,0)=0.
Para provar continuidade em (0,0) precisamos verificar se
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=f(0,0)=0.]
Passo 2
Definição que vamos usar (explicando bem): uma função de duas variáveis f(x,y) é contínua em (0,0) se, quando (x,y) se aproxima de (0,0), os valores f(x,y) se aproximam de f(0,0). Em linguagem de limites, devemos mostrar que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0.
Vou mostrar isso construindo uma desigualdade que force |f(x,y)| a ficar pequeno sempre que a distância de (x,y) a (0,0) for pequena.
Passo 3
Começo manipulando o valor absoluto da função (isso é útil porque trabalhamos com desigualdades):
Expliquei: removi |\cos y| porque isso só diminui o numerador, tornando a desigualdade mais simples.
Passo 4
Uma desigualdade muito útil que usamos com frequência é |\operatorname{sen} t|\le |t| para todo t\in\mathbb{R}. (Isso vem da aproximação \operatorname{sen} t\sim t para t pequeno e é verdadeiro globalmente porque |\operatorname{sen} t|\le 1 e perto da origem |\operatorname{sen} t|\le|t|; formalmente é consequência do teorema do valor médio ou da série de Taylor, mas você pode aceitar |\operatorname{sen} t|\le|t| como uma desigualdade padrão.) Aplicando-a com t=x obtemos |\operatorname{sen}(x)|\le |x|. Assim
|f(x,y)|\le \dfrac{|y|^{2}\,|x|}{x^{2}+y^{2}}.
Passo 5
Agora introduzo a quantidade r que mede a distância de (x,y) até a origem:
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Expliquei: r é a norma euclidiana de (x,y) e "vai a 0" exatamente quando (x,y)\to(0,0). Note que |x|\le r e |y|\le r. Usando essas desigualdades no lado direito obtemos
|y|^{2}\,|x| \le r^{2}\cdot r = r^{3}.
Como o denominador é x^{2}+y^{2}=r^{2}, temos
|f(x,y)| \le \dfrac{r^{3}}{r^{2}} = r.
Mostrei passo a passo: substituí |x| e |y| por r para obter uma expressão simples em termos de r.
Passo 6
Concluo o argumento usando o que sabemos sobre r: quando (x,y)\to(0,0), temos r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\to 0. Da desigualdade anterior segue que
0\le |f(x,y)| \le r \qquad\text{e}\qquad r\to 0,
logo, pelo princípio do confronto (squeeze), |f(x,y)|\to 0, isto é,
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0.
Se você quiser uma versão \varepsilon-\delta explícita: dado \varepsilon>0 escolha \delta=\varepsilon. Se \sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta então |f(x,y)|\le r<\delta=\varepsilon. Isso mostra formalmente que o limite é 0.
Passo 7
Como o limite de f(x,y) quando (x,y)\to(0,0) é exatamente o valor f(0,0)=0, pela definição a função é contínua em (0,0). Parabéns — mostramos que, apesar da aparência com fração, o fator y^{2} no numerador garante que os valores vão para zero suficientemente rápido.